Question

【題目】已知：如圖，平行四邊形ABCD的對角線相交于點O，點E在邊BC的延長線上，且OE=OB，聯結DE．

（1）求證：DE⊥BE；

（2）設CD與OE交于點F，若OF2+FD2=OE2，CE=3，DE=4，求線段CF的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】（1）先根據平行四邊形的性質，得出OD=OB，再根據OE=OB，得出OE=OB=OD，最后根據三角形內角和定理，求得∠OEB+∠OED=90°，即可得出結論．

（2）證明△OFD為直角三角形，得出∠OFD=90°．在Rt△CED中，由勾股定理求出CD=5．由三角形面積求出EF=．在Rt△CEF中，根據勾股定理求出CF即可．

（1）證明：∵平行四邊形ABCD，∴OB=OD．∵OB=OE，∴OE=OD．

∴∠OED=∠ODE．∵OB=OE，∴∠OBE=∠OEB．

∵∠OBE+∠OEB+∠ODE+∠OED=180°，∴∠OEB+∠OED=90°．∴DE⊥BE；

（2）解：∵OE=OD，OF2+FD2=OE2，∴OF2+FD2=OD2．∴△OFD為直角三角形，且∠OFD=90°．

在Rt△CED中，∠CED=90°，CE=3，DE=4，∴CD2=CE2+DE2．

∴CD=5．又∵，∴．

在Rt△CEF中，∠CFE=90°，CE=3，，根據勾股定理得：．