Question

（2001•沈陽）已知，如圖，在直角坐標系中，以y軸上的點C為圓心，2為半徑的圓與x軸相切于原點O，點P在x軸的負半軸上，PA切⊙C于點A，AB為⊙C的直徑，PC交OA于點D．
（1）求證：PC⊥OA；
（2）若△APO為等邊三角形，求直線AB的解析式；
（3）若點P在x軸的負半軸上運動，原題的其他條件不變，設點P的坐標為（x，0），四邊形POCA的面積為S，求S與點P的橫坐標x之間的函數關系式，并寫出自變量的取值范圍；
（4）當點P在x軸的負半軸上運動時，原題的其他條件不變，分析并判斷是否存在這樣的一點P，使S_{四邊形POCA}=S_△AOB？若存在，請直接寫出點P的坐標；若不存在，請簡要說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）本題可根據切線長定理得出PC平分∠ACO，然后根據垂徑定理即可得出PC⊥AO．
（2）求直線AB的解析式，已知了直線AB上C點的坐標．再得出一點的坐標即可用待定系數法求出直線AB的解析式．以求A點為例，可在直角三角形PCO中，根據特殊角∠CPO（30°），以及半徑的長，求出OP的長，然后可過A作x軸的垂線，用相同的方法求出A點的坐標．由此可求出直線AB的解析式．
（3）由于△PAC≌△POC，因此兩三角形的面積相等，四邊形POCA的面積實際是2倍的△POC的面積．由此可求出S與x的函數關系式．
（4）根據圓的對稱性可知A、B兩點到y軸的距離應該相等，因此△BOC的面積和△ACO的面積相等，（3）中得出△POC與△PAC的面積相等，因此S_{四邊形POCA}=S_△AOB能得出的條件是△AOC和△POC的面積相等，由于兩三角形同底，因此高相等即PA∥OC，因此四邊形PACO是個矩形（實際是個正方形），由此可得出AC=OP=r，由此可求出P點的坐標．
解答：（1）證明：∵⊙C與x軸相切于原點O，點P在x軸上，
∴PO與⊙C相切于點O，
又∵PA切⊙C于點A，
∴PO=PA，PC平分∠APO，
∴PC⊥OA．

（2）解：∵△APO為等邊三角形，
∴∠CPO=∠APO=×60°=30°，
又∵∠POC=90°，
∴PC=2OC=2×2=4；
在Rt△POC中由勾股定理可得PO=2，
作AH⊥PO于H，在Rt△AHO中，OA=OP=2，
∴OH=PO=，
∴AH=3，
∴A（-，3），
又點C（0，2），
故利用待定系數法可求得直線AB的函數解析式為y=-x+2．

（3）解：S_{四邊形POCA}=2S_△POC=2××（-x）×2=-2x，
即S=-2x（x＜0）．

 （4）解：存在這樣的一點P，其坐標為（-2，0），
∵S_△AOB=2S_△AOC，S_{四邊形POCA}=2S_△POC，
∴S_△AOC=S_△POC，
∴PA∥OC；
又∵∠POC=90°，
∴∠APO=90°，
∵∠PAC=∠POC=90°，
∴四邊形POCA是矩形，
∴OP=AC=2，
∴P（-2，0）．
點評：本題考查了切線的性質、垂徑定理、切線長定理、等邊三角形的性質、矩形的判定以及一次函數的應用等知識點，綜合性較強．