Question

已知，如圖，正方形ABCD中，點E、F分別在邊BC、CD上，且∠EAF=45°，AG⊥EF于G，EG=2，FG=3，求AG的邊長．小萍同學靈活運用旋轉的知識，將圖形進行旋轉變換，巧妙地解答了此題．請按照小萍的思路，探究并解答下列問題：
（1）把△ADF繞點A順時針旋轉90°，得△ABH，請在圖中畫出旋轉后的圖形；
（2）判斷H、B、E三點是否在一條直線上，若在，請證明：△AEF≌△AEH；若不在，請說明理由；
（3）設AG=x，利用勾股定理，建立關于x的方程模型，求出x的值．

Answer 1

分析：（1）延長EB到H，使BH=DF，然后連接AH即可；
（2）根據∠ABH=∠ABE=90°可以判斷H、B、E三點共線，再根據旋轉的性質可得△ABH和△ADF全等，根據全等三角形對應邊相等可得AH=AF，全等三角形對應角相等可得∠BAH=∠DAF，再求出∠EAH=∠EAF，然后利用“邊角邊”證明△AEF和△AEH全等即可；
（3）根據全等三角形對應邊上的高相等可得AB=AG，再利用“HL”證明Rt△ABE和Rt△AGE全等，根據全等三角形對應邊相等可得BE=EG=2，然后表示出EC，同理求出FC，然后在Rt△ECF中，利用勾股定理列出方程進行計算即可得解．

解答：解：（1）如圖所示；


（2）根據旋轉的性質，∠ABH=90°，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ABE=90°，
∴H、B、E三點在一條直線上，
由旋轉的性質可知△ABH≌△ADF，
∴AH=AF，∠BAH=∠DAF，
∵∠EAF=45°，
∴∠BAE+∠DAF=45°，
∴∠BAE+∠BAH=45°，
即∠EAH=45°，
∴∠EAH=∠EAF，
在△AEF和△AEH中，

AH=AF ∠EAH=∠EAF AE=AE

，
∴△AEF≌△AEH（SAS）；

（3）∵△AEF≌△AEH，
∴AB=AG（全等三角形對應邊上的高相等）
在Rt△ABE和Rt△AGE中，

AE=AE AB=AG

，
∴Rt△ABE≌Rt△AGE（HL），
∴BE=EG=2，
同理DF=GF=3，
∴EC=x-2，FC=x-3，
在Rt△ECF中，由勾股定理得：（x-2）²+（x-3）²=5²，
整理得：x²-5x-6=0，
解這個方程得：x₁=6，x₂=-1（不合題意，舍去），
∴x的值為6，
即AG=6．

點評：本題考查了旋轉的性質，全等三角形的判定與性質，勾股定理的應用，正方形的性質，解一元二次方程，準確識圖并熟記旋轉的性質是解題的關鍵．