Question

【題目】如圖，在四邊形中，、為對角線，點、、、分別為、、、邊的中點，下列說法：

①當時，、、、四點共圓．

②當時，、、、四點共圓．

③當且時，、、、四點共圓．

其中正確的是（ ）

A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ②③

Answer 1

【答案】C

【解析】

連接EM、MF、FN、NE，連接EF、MN，交于點O，利用三角形中位線定理可證到四邊形ENFM是平行四邊形；然后根據條件判定四邊形ENFM的形狀，就可知道M、E、N、F四點是否共圓．

解：連接EM、MF、FN、NE，連接EF、MN，交于點O，如圖所示．

∵點M、E、N、F分別為AD、AB、BC、CD邊的中點，

∴EM∥BD∥NF，EN∥AC∥MF，EM=NF=BD，EN=MF=AC．

∴四邊形ENFM是平行四邊形．

①當AC=BD時，

則有EM=EN，

所以平行四邊形ENFM是菱形．

而菱形的四個頂點不一定共圓，

故①不一定正確．

②當AC⊥BD時，

由EM∥BD，EN∥AC可得：EM⊥EN，即∠MEN=90°．

所以平行四邊形ENFM是矩形．

則有OE=ON=OF=OM．

所以M、E、N、F四點共圓，

故②正確．

③當AC=BD且AC⊥BD時，

同理可得：四邊形ENFM是正方形．

則有OE=ON=OF=OM

所以M、E、N、F四點共圓，

故③正確．

故選：C．