Question

在平面直角坐標系中，現將一塊等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在兩坐標軸上，點A（0，2），C（-1，0），如圖所示．
（1）求點B的坐標；
（2）若以（-

1

2

，-

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8

）為頂點的拋物線經過點B，求該拋物線的解析式；
（3）在（2）中的拋物線上是否還存在點P（點B除外），使△ACP仍然是以AC為直角邊的等腰直角三角形？若存在，求所有點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由于△ABC是等腰Rt△，若過B作BD⊥x軸于D，易證得△BCD≌△CAO，則BD=OA=2，BD=OC=1，即可求出B點坐標為：B（-3，1）．
（2）將B點坐標代入拋物線的解析式中，即可求出待定系數a的值，也就求得了拋物線的解析式．
（3）延長BC到P，使CP=BC，連接AP，利用等腰直角三角形的性質與全等三角形的判定與性質解答即可．

解答：解：（1）過B作BD⊥x軸于D；
∵∠BCA=90°，
∴∠BCD=∠CAO=90°-∠ACO；
又∵BC=AC，∠BDC=∠AOC=90°，
∴△BDC≌△COA；
∴AO=DC=2，BD=OC=1，
∴B（-3，1）．

（2）∵以（-

1

2

，-

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8

）為頂點的拋物線經過點B，則有：
y=a（x+

1

2

） ²-

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，
將B（-3，1）代入得出：
解得a=

1

2

；
∴y=

1

2

（x+

1

2

） ²-

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8

，

（3）延長BC到P，使CP=BC，連接AP，
則△ACP為以AC為直角邊的等腰直角三角形
過P作PF⊥x軸于F，易證△BDC≌△PFC，
∴CF=CD=2PF=BD=1，
∴P（1，-1），
將（1，-1）代入拋物線的解析式滿足；
若∠CAP=90°，AC=AP₁，
則四邊形ABCP₁為平行四邊形，
過P₁作P₁G⊥y軸于G，易證△P₁GA≌△CDB，
∴P₁G=2，AG=1，
∴P₁（2，1）在拋物線上，
∴存在P（1，-1），（2，1）滿足條件．

點評：此題主要考查了全等三角形的判定與性質，待定系數法求出拋物線的解析式、函數圖象交點等知識，利用等腰三角形的性質得出P點的位置是解題關鍵．