Question

AB是⊙O的直徑，點E是半圓上一動點（點E與點A、B都不重合），點C是BE延長線上的一點，且CD⊥AB，垂足為D，CD與AE交于點H，點H與點A不重合．
（1）求證：△AHD∽△CBD；
（2）連HO，若CD=AB=2，求HD+HO的值．

Answer 1

（1）證明：AB是⊙O的直徑
∴∠AEB=90°，則∠ABC+∠BAE=90°，
又∵CD⊥AB，
∴∠BAE+∠AHD=90°，
∴∠AHD=∠ABC，
又∵∠ADH=∠CDB=90°，
∴△AHD∽△CBD．

（2）設OD=x，則BD=1-x，AD=1+x，
∵Rt△AHD∽Rt△CBD，
則HD：BD=AD：CD，
即HD：（1-x）=（1+x）：2，
即HD=

1-x2

2

，
在Rt△HOD中，由勾股定理得：
OH=

OD2+HD2

=

x2+( 1-x2 2 )2

=

1+x2

2

，
所以HD+HO=

1-x2

2

+

1+x2

2

=1；
②當點E移動到使D與O重合的位置時，這時HD與HO重合，由Rt△AHO∽Rt△CBO，利用對應邊的比例式為方程，可以算出HD=HO=

1

2

，即HD+HO=1；
③當D在OA段時BD=1+x，AD=1-x，證明同①∵Rt△AHD∽Rt△CBD，
則HD：BD=AD：CD，
即HD：（1-x）=（1+x）：2，
即HD=

1-x2

2

，
在Rt△HOD中，由勾股定理得：
OH=

OD2+HD2

=

x2+( 1-x2 2 )2

=

1+x2

2

，
所以HD+HO=

1-x2

2

+

1+x2

2

=1．