Question

定義：如果一個圖形經過分割，能分為4個與自身相似的圖形，我們稱它為“能四階自相似分割圖形”．如圖1，任意△ABC取各邊的中點D、E、F，連接DE、EF、DF，分得的△ADF、△BDE、△DEF、△CEF顯然都與△ABC相似，則任意△ABC是“能四階自相似分割圖形”．

（1）小明發現：任意矩形ABCD（如圖2）也是“能四階自相似分割圖形”．請你利用尺規作圖作出分割線．（保留作圖痕跡，不要求寫作法）
（2）同組的小華思考后提出：能不能設計一種方案，將任意△ABC分割成四個與△ABC相似的小三角形，且其中至少有兩個小三角形的相似比不為1？為了研究方便，小華取AB=6，AC=4，BC=5，（如圖3）并成功地設計出了分法．請你完成小華的分法，并簡單地說明理由．

Answer 1

分析：（1）作AD的中垂線MN、AB的中垂線PQ即可，分成的四個矩形和原來的矩形相似．
（2）在BC上取點D，過點D作DE∥AB交AC于點E，過點D作DF∥AC交AB于點F，就可以將任意△ABC分割成四個與△ABC相似的小三角形，且其中至少有兩個小三角形的相似比不為1．

解答：解：（1）如圖2，作AD的中垂線MN、AB的中垂線PQ即可，分得的四個矩形與原矩形相似．（2分）

（2）如圖3，在BC上取點D，過點D作DE∥AB交AC于點E，過點D作DF∥AC交AB于點F，易證：△CDE∽△DBF∽△CBA，
四邊形AEDF為平行四邊形，
設CE=x，則AE=4-x，
∵△CDE∽△CBA，可得

CE

CA

=

DE

AB

，∴DE=

3

2

x，
∴AF=DE=

3

2

x，（6分）
如果：△AEF∽△ABC，可得

AF

CA

=

AE

AB

，∴CE=

16

13

，
∴AF=

24

13

，CD=

20

13

．（8分）
（其他類似方法同樣給分）

點評：本題考查了相似三角形的判定和性質，相似三角形的對應邊成比例以及應用與設計作圖的知識點．