Question

請閱讀下列材料：
圓內的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等，即如圖（1），若弦AB、CD交于點P則PA·PB=PC·PD，請你根據以上材料，解決下列問題，已知⊙O的半徑為2，P是⊙O內一點，且OP=1，過點P任作一弦AC，過A、C兩點分別作圓O的切線m和n，作PQ⊥m于點Q，PR⊥n于點R。（如圖（2））

（1）若AC恰經過圓心O，請你在圖（3）中畫出符合題意的圖形，并計算：的值；
（2）若OP⊥AC，請你在圖（4）中畫出符合題意的圖形，并計算：的值；
（3）若AC是過點P的任一弦（圖（2）），請你結合（1）（2）的結論，猜想：的值，并給出證明。

Answer 1

解：（1）AC過圓心O，且m，n分別切⊙O于點A，C，如圖（1）所示， ∴AC⊥m于點A，AC⊥n于點C， ∴Q與A重合，R與C重合，OP=1，AC=4， ∴=
（2）連接OA，如圖（2）所示，OP⊥AC于點P，且OP=1，OA=2 ∴∠OAP=30°， ∴AP=， OA⊥直線m，PQ⊥直線m， ∴OA∥PQ，∠PQA=90°， ∴∠APQ=∠OAP=30°， ∴在Rt△AQP中，PQ=，同理：；
（3）猜想： 證明：過點A作直徑交⊙O于點E，連接CE，如圖（3）所示 ∴ECA=90°AEi直線m，PQ上直線m， ∴AE∥PQ且∠PQA=90° ∴∠EAC=∠APQ ∴△AEC∽△PAQ ， 同理可得： ， ①+②，得 過點P作直徑交⊙O于點M，N由閱讀材料可知：AP·PC=PM·PN=3， 。