Question

已知：如圖所示，直線l的解析式為y=

3

4

x-3，并且與x軸、y軸分別相交于點A、B．
（1）求A、B兩點的坐標；
（2）一個圓心在坐標原點、半徑為1的圓，以0.4個單位/每秒的速度向x軸正方向運動，問什么時刻該圓與直線l相切；
（3）在題（2）中，若在圓開始運動的同時，一動點P從B點出發，沿BA方向以0.5個單位/秒的速度運動，問在整個運動的過程中，點P在動圓的園面（圓上和圓的內部）上一共運動了多長時間？

Answer 1

分析：（1）因為直線l的解析式為y=

3

4

x-3，并且與x軸、y軸分別相交于點A、B，所以分別令y=0；x=0，即可求出A、B的坐標；
（2）可設動圓的圓心在C處時與直線l相切，設切點為D，連接CD，則CD⊥AD，CD=1，由∠CAD=∠BAO，∠CDA=∠BOA=90°，可知Rt△ACD∽Rt△ABO，利用相似三角形對應邊的比等于相似比，可得

CD

BO

=

AC

AB

，即

1

3

=

AC

5

，求出AC的值，即可得到此時OC的值，利用OC的長度結合速度即可求出時間；根據對稱性，圓C還可能在直線l的右側，與直線l相切，
此時OC=4+

5

3

=

17

3

，t=

s

v

=

17

3

÷0.4=

85

6

；
（3）可設在t秒時，動圓的圓心在F點處，動點在P處，此時OF=0.4t，BP=0.5t，F點的坐標為（0.4t，0），連接PF．
因為

OF

BP

=

0.4t

0.5t

=

4

5

，又

OA

BA

=

4

5

，所以可得到

OF

BP

=

OA

BA

，進而可得到FP∥OB，PF⊥OA，所以P點的橫坐標為0.4t，又結合P點在直線AB上，可得P點的縱坐標為0.3t-3，因此可見：當PF=1時，P點在動圓上，當0≤PF＜1時，P點在動圓內，而當P=1時，由對稱性可知，有兩種情況：①當P點在x軸下方時，PF=-（0.3t-3）=1，解之可得t的值，②當P點在x軸上方時，PF=0.3t-3=1，解之得t的另一個值，進而可得到當

20

3

≤t≤

40

3

時，0≤PF≤1，并且此時點P在動圓的圓面上，所經過的時間為

40

3

-

20

3

=

20

3

．

解答：解：（1）在y=

3

4

x-3中，令x=0，得y=-3；令y=0，得x=4，故得A、B兩的坐標為
A（4，0），B（0，-3）．                                               （2分）

（2）若動圓的圓心在C處時與直線l相切，設切點為D，如圖所示．
連接CD，則CD⊥AD．                                                    （3分）
由∠CAD=∠BAO，∠CDA=∠BOA=90°，可知Rt△ACD∽Rt△ABO，
∴

CD

BO

=

AC

AB

，即

1

3

=

AC

5

，則AC=

5

3

．                                 （4分）
此時OC=4-

5

3

=

7

3

，t=

s

v

=

7

3

÷0.4=

35

6

（秒）．                       （5分）
根據對稱性，圓C還可能在直線l的右側，與直線l相切，
此時OC=4+

5

3

=

17

3

．                                                  （7分）
t=

s

v

=

17

3

÷0.4=

85

6

（秒）．
答：（略）．                                                           （8分）

（3）設在t秒，動圓的圓心在F點處，動點在P處，此時OF=0.4t，BP=0.5t，F點的坐標為（0.4t，0），連接PF，
∵

OF

BP

=

0.4t

0.5t

=

4

5

，又

OA

BA

=

4

5

，
∴

OF

BP

=

OA

BA

，
∴FP∥OB，∴PF⊥OA（9分）
∴P點的橫坐標為0.4t，
又∵P點在直線AB上，
∴P點的縱坐標為0.3t-3，
可見：當PF=1時，P點在動圓上，當0≤PF＜1時，P點在動圓內．               （10分）
當PF=1時，由對稱性可知，有兩種情況：
①當P點在x軸下方時，PF=-（0.3t-3）=1，解之得：t=

20

3

；
②當P點在x軸上方時，PF=0.3t-3=1，解之得：t=

40

3

．                      （11分）
∴當時

20

3

≤t≤

40

3

時，0≤PF≤1，此時點P在動圓的圓面上，所經過的時間為

40

3

-

20

3

=

20

3

，
答：動點在動圓的圓面上共經過了

20

3

秒．                                  （12分）

點評：本題是一道綜合性強的題目，解決這類問題常用到分類討論、數形結合、方程和轉化等數學思想方法．