Question

（2009•寶山區二模）如圖，矩形ABCD中，，點E是BC邊上的一個動點，連接AE，過點D作DF⊥AE，垂足為點F．
（1）設BE=x，∠ADF的余切值為y，求y關于x的函數解析式；
（2）若存在點E，使得△ABE、△ADF與四邊形CDFE的面積比是3：4：5，試求矩形ABCD的面積；
（3）對（2）中求出的矩形ABCD，連接CF，當BE的長為多少時，△CDF是等腰三角形？

Answer 1

【答案】分析：（1）根據已知條件矩形ABCD和DF⊥AE，證△ABE∽△DFA，從而求出y關于x的函數解析式；
（2）假設存在，由題意△ABE、△ADF與四邊形CDFE的面積比是3：4：5，可得BE=BC，設BE=x，證△ABE∽△DFA，根據三角形的相似比，從而求解；
（3）過點C作CM⊥DF，垂足為點M，判斷△CDF是等腰三角形，要分類討論，①CF=CD；②DF=DC；③FD=FC，根據三角形相似進行求解．
解答：解：（1）∵DF⊥AE，∴∠DFA=90°又∠B=90°，
∵AD∥BC，
∴∠DAE=∠AEB，
∴△ABE∽△DFA，
∴，
∴；（3分）

（2）∵△ABE：△ADF：四邊形CDFE的面積比是3：4：5，
∴，
∴，（1分）
設BE=x，則BC=2x，
∵△ABE∽△DFA，且△ABE：△ADF=3：4
∴，∴，（2分）
解得x=1，（1分）
∴BC=2，；（1分）

（3）①CF=CD時，過點C作CM⊥DF，垂足為點M，
則CM∥AE，DM=MF，（1分）
延長CM交AD于點G，
∴AG=GD=1，
∴CE=1，
∴當BE=1時，△CDF是等腰三角形；（1分）

②DF=DC時，則DC=DF=，
∵DF⊥AE，AD=2，
∴∠DAE=45°，（1分）
則BE=，
∴當BE=時，△CDF是等腰三角形；（1分）

③FD=FC時，則F為AE中點，
∵AB=，BE=x，
∴AE=，
AF=
∵△ADF∽△EAB，
∴，
，
x²-4x+2=0，
解得，
∴當BE=時，△CDF是等腰三角形．（1分）
點評：此題難度比較大，主要考查矩形的性質、相似三角形的性質及等腰三角形的判定，考查知識點比較多，綜合性比較強，另外要注意輔助線的作法．