Question

如圖，二次函數的圖象經過點A（-1，0）和點B，交y軸于點C，頂點為D（1，4）．矩形EFGH的頂點E、F在線段AB上，點G、H在這個二次函數的圖象上．設點E的坐標為（m，0）．（m＜1）
（1）求點C的坐標；
（2）當m為何值時，矩形EFGH的周長最大，并求出這個最大值；
（3）設m²-2m=n，若以GH為直徑的⊙P經過點C時，試判斷⊙P與y軸的位置關系，并求出n的值．

Answer 1

解：（1）設這個二次函數的解析式為y=a（x-1）²+4，
把x=-1，y=0代入，得0=4a+4，解得a=-1，
∴y=-（x-1）²+4=-x²+2x+3，
∴點C的坐標為（0，3）；

（2）設矩形EFGH的周長為l，過點D作DM⊥AB于點M，如圖，
則EM=FM=1-m，EF=2（1-m）=2-2m．
當x=m時，y=-m²+2m+3，
∴HE=-m²+2m+3，
∴l=2（EF+HE）=2（2-2m-m²+2m+3）=-2m²+10，
∴當m=0時，l有最大值，l的最大值為10．
即當m=0時，矩形EFGH的周長最大，這個最大值是10；

（3）①當⊙P與y軸只有一個交點C時，⊙P與y軸相切，如圖，
此時點H與點C重合，
∴m=0，
∴n=m²-2m=0；
②當⊙P與y軸有兩個交點時，⊙P與y軸相交，且-1＜m＜1．
設GH交y軸于點N，連接CP，如圖，
則PN=1，CP=HP=1-m，ON=HE=-m²+2m+3，
∴CN=OC-ON=3-（-m²+2m+3）=m²-2m．
∵GH⊥y軸，
∴CN²+PN²=CP²，
∴（m²-2m）²+1²=（1-m）²，
∴（m²-2m）²=m²-2m，即n²=n．
∵n=m²-2m≠0，
∴n=1．
分析：（1）由拋物線的頂點坐標為D（1，4），可設這個二次函數的解析式為y=a（x-1）²+4，將A點（-1，0）代入，運用待定系數法求出此二次函數的解析式，進而得出與y軸交點C的坐標；
（2）設矩形EFGH的周長為l，過點D作DM⊥AB于點M，則EF=2-2m，HE=-m²+2m+3，根據矩形的周長公式得出l=2（EF+HE）=-2m²+10，再根據二次函數的性質，即可求出m=0時，矩形EFGH的周長有最大值是10；
（3）由于點C在y軸上，所以當以GH為直徑的⊙P經過點C時，⊙P與y軸有一個或兩個交點．分兩種情況討論：①當⊙P與y軸只有一個交點C時，⊙P與y軸相切，切點為C，此時點H與點C重合，則m=0，所以n=m²-2m=0；②當⊙P與y軸有兩個交點時，⊙P與y軸相交，設GH交y軸于點N，連接CP，則PN=1，CP=1-m，CN=OC-ON=3-（-m²+2m+3）=m²-2m，在Rt△CPN中運用勾股定理，得CN²+PN²=CP²，即（m²-2m）²+1²=（1-m）²，即可求出n=1．
點評：本題是二次函數的綜合題型，其中涉及到的知識點有運用待定系數法求二次函數的解析式，矩形的性質，二次函數的性質，勾股定理，直線與圓的位置關系，綜合性較強，難度適中．運用數形結合、分類討論及方程思想是解題的關鍵．