Question

（本小題滿分6分）

如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，O為BC邊上一點，以O為圓心，OB為半徑作半圓與AB邊和BC邊分別交于點D、點E，連接CD，且CD=CA，BD=，tan∠ADC=2．

  1.（1）求證：CD是半圓O的切線

2.（2）求半圓O的直徑；

3.（3）求AD的長.

 

Answer 1

 

1.（1）證明：如圖，連接OD，

∵OD＝OB，∴∠1＝∠2.

∵CA＝CD，∴∠ADC＝∠A.

在△ABC中，

∵∠ACB＝90°，∴∠A＋∠1＝90°.

∴∠ADC＋∠2＝90°.  ∴∠CDO＝90°.

∵OD為半圓O的半徑，

∴CD為半圓O的切線.

2.（2）解：如圖，連接DE.

∵BE為半圓O的直徑，

∴∠EDB＝90°. ∴∠1＋∠3＝90°.

∴∠ADC＝∠3.

∴.

∴.

    ∴.

3.（3）解：作CF⊥AD于點F，∴AF＝DF.

設，

∵，∴CF＝2x.

∵∠1＋∠FCB＝90°，

∴.

∴. ∴FB＝4x.

∴BD＝3 x＝. 解得.

    ∴AD＝2DF＝2x＝

解析:略