Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm ，BC=6cm，經過A，B的直線l以1cm/秒的速度向下作勻速平移運動，交BC于點B′，交CD于點 D′，與此同時，點P從點B′ 出發，在直線l上以1cm/秒的速度沿直線l向右下方向作勻速運動．設它們運動的時間為t秒．

（1）你求出的AB的長是　　　　　；
（2）過點C作CD⊥AB于點D，t為何值時，點P移動到CD上？
（3）t為何值時，以點P為圓心、1cm為半徑的圓與直線CD相切？
（4）以點P為圓心、1 cm為半徑的⊙P與CD所在的直線相交時，是否存在點P與兩個交點構成的三角形是等邊三角形？若存在，直接寫出t的值；若不存在，說明理由.

Answer 1

（1）12；（2）2；（3）或；（4）2-或2+

試題分析：（1）根據勾股定理即可求得結果；
（2）由題可得∠BCD=30°，根據含30°的直徑三角形的性質即可求得結果；
（3）此題應分作兩種情況考慮：①當P位于OC左側，⊙P與CD第一次相切時，②當P位于OC右側，⊙P與OC第二次相切時，根據直線和圓的位置關系進行分析；
（4）此題應分作兩種情況考慮：①當P位于OC左側，②當P位于OC右側，結合等邊三角形的性質分析.
（1）∵∠ACB=90°，AC=6cm ，BC=6cm
∴
（2）由題意得∠BCD=30°
∴當點P移動到CD上時有，解得
當時，點P移動到CD上；
（3）此題應分為兩種情況：
①當⊙P和OC第一次相切時，根據直線和圓相切，則圓心到直線的距離等于圓的半徑，得
，解得
②當⊙P和OC第二次相切時，根據直線和圓相切，則圓心到直線的距離等于圓的半徑，得
，解得
當或時，以點P為圓心、1cm為半徑的圓與直線CD相切；
（4）或
點評：本題知識點多，綜合性強，難度較大，一般是中考壓軸題，需仔細分析.