Question

【題目】如圖1，BA⊥MN，垂足為A，BA=4，點P是射線AN上的一個動點(不與點A重合)，∠BPC=∠BPA，BC⊥BP，過點C作CD⊥MN，垂足為D，設AP=x

（1）CD的長度是否隨著x的變化而變化？若變化，用含x的代數式表示CD的長度；若不變化，求出線段CD的長度；
（2）△PBC的面積是否存在最小值？若存在，請求出這個最小值，并求出此時的x的值；若不存在，請說明理由；
（3）當x取何值時，△ABP和△CDP相似；
（4）如圖2，當以C為圓心，以CP為半徑的圓與線段AB有公共點時，求x的值。

Answer 1

【答案】
（1）解：CD的長度不變化，理由如下:
如圖1,延長CB和PA,記交點為點Q.

, ,
(等腰三角形“三合一”的性質).
, ,
,
,

,
即CD=8 。
（2）解：如圖2,過點B作 ,垂足為F.

, , . , ,即CP最小值為8, 面積的最小值
此時 是等腰三角形,AP=AB=4 ,即x=4;
（3）解：當 時,
,
,
即 ,
如圖3,當

時,
, ,
,
,
,
即 ,
所以當 或 時, 和 相似。
（4）解：如圖延長CB和PA相交于點E，

當點A在圓C上時，由（1）及垂徑定理得
AE=AD=DP= x
由 得

∴
∴x的取值范圍是
【解析】（1）CD的長度不變化，理由如下:如圖1，延長CB和PA，記交點為點Q．根據等腰△QPC“三合一”的性質證得QB=BC；根據同一平面內垂直于同一直線的兩條直線互相平行得出A B ∥ C D ,根據平行于三角形一邊的直線截其它兩邊，所截得的三角形與原三角形相似得出：△QAB∽△QDC；由全等三角形的對應邊成比例得出CD=2AB，從而得出答案；
（2）如圖2，過點B作BF⊥PC，垂足為F．根據角平分線上的點到角兩邊的距離相等得出BF=BA=4．根據垂線段最短得出CP≥CD，從而得出CP最小值為8，根據三角形的面積公式進而得出△PBC面積的最小值，進而根據角平分線的定義得出此時△BAP是等腰直角三角形，AP=AB=4，進而得出答案；
（3）此題分兩種情況 ：①當△BAP∽△CDP時，由∠ B P C = ∠ B P A , ∠ C P D = ∠ B P A 根據平角的定義得出∠BPA=60°，然后利用正切函數的定義得出x=AP=,②當Δ B A P Δ P D C 時,由∠ C P B = ∠ B P A , ∠ P C D = ∠ B P A ,根據直角三角形兩銳角互余得出∠ B P A = 30 ,然后利用正切函數的定義得出x=AP= ；綜上所述從而得出x的值；
（4）根據當點A在⊙C上時，由（1）及垂徑定理得：AE=AD=DP=x,由全等三角形對應邊成比例得出