Question

（2004•寧波）已知AB是半圓O的直徑，AB=16，P點是AB上的一動點（不與A、B重合），PQ⊥AB，垂足為P，交半圓O于Q；PB是半圓O₁的直徑，⊙O₂與半圓O、半圓O₁及PQ都相切，切點分別為M、N、C．
（1）當P點與O點重合時（如圖1），求⊙O₂的半徑r；
（2）當P點在AB上移動時（如圖2），設PQ=x，⊙O₂的半徑r．求r與x的函數關系式，并求出r取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）、由勾股定理得OO₂²-OD²=O₂D²=O₁O₂²-O₁D²，可求得r的值；
（2）、連接O₁O₂、OO₂，作O₂D⊥AB于D，由射影定理和勾股定理可求得r與x的函數關系式．
解答：解：（1）連接OO₂、O₁O₂、O₂C，作O₂D⊥AB于D．（1分）
∵⊙O₂與⊙O、⊙O₁、PQ相切，
∴OO₂=8-r，（2分）
O₁O₂=4+r．（3分）
∵四邊形ODO₂C是矩形，
∴OD=r，O₁D=4-r（4分）
根據勾股定理得：OO₂²-OD²=O₂D²=O₁O₂²-O₁D²，
即：（8-r）²-r²=（r+4）²-（4-r）²，（5分）
∴r=2；（6分）

（2）∵AB是⊙O直徑，PQ⊥AB
∴PQ²=AP•PB
設⊙O₁半徑是a，
則x²=2a（16-2a）=4（8a-a²）．
連接O₁O₂、OO₂，作O₂D⊥AB于D
∴O₁O₂=a+r，OO₂=8-r，O₁D=O₁P-PD=a-r，OD=PB-PD-OB=2a-r-8，（8分）
根據勾股定理得；O₁O₂²-O₁D²=OO₂²-OD²，
即：（a+r）²-（a-r）²=（8-r）²-（2a-r-8）²，（9分）
化簡得：8r=7a．
∴x²=32r，即（10分）
∵0≤x≤8，
∴0＜r≤2．（12分）
說明：其它解法相應給分
點評：圓與圓相切，一般通過構造直角三角形，矩形，利用勾股定理和矩形的性質，圓心距與圓的半徑求解．