Question

如圖，已知點E是矩形ABCD的邊AB上一點，BE：EA=5：3，EC=15

5

，把△BEC沿折痕EC向上翻折，若點B恰好在AD上，設這個點為F．
（1）求AB、BC的長度各是多少？
（2）若⊙O內切于以F、E、B、C為頂點的四邊形，求⊙O的面積．

Answer 1

分析：（1）求線段的長度問題，題中可先設其長度為k，然后利用三角形相似建立平衡關系，再用勾股定理求解即可．
（2）連接OB，由⊙O內切于以F、E、B、C為頂點的四邊形，則BE=EF，BC=CF；再由BE：EA=5：3可以設BE=5x，EA=3x，則FA=4x，CD=8x，又CF=AD，CF²=CD²+DF²，可得CF=10x，DF=6x，則BC=10x；在Rt△EBC中，由勾股定理可求得x的值，再由面積S_△EBC=S_△OEB+S_△OBC求得⊙O半徑，求出面積．

解答：解：（1）∵四邊形ABCD是矩形
∴∠A=∠B=∠D=90°，BC=AD，AB=CD，
∴∠AFE+∠AEF=90°（2分）
∵F在AD上，∠EFC=90°
∴∠AFE+∠DFC=90°
∴∠AEF=∠DFC
∴△AEF∽△DFC（3分）
∴

AE

DF

=

AF

DC

．（4分）
∵BE：EA=5：3
設BE=5k，AE=3k
∴AB=DC=8k，
由勾股定理得：AF=4k，
∴

3k

DF

=

4k

8k

∴DF=6k
∴BC=AD=10k（5分）
在△EBC中，根據勾股定理得BE²+BC²=EC²
∵CE=15

5

，BE=5k，BC=10k
∴(5k)2+(10k)2=(15

5

)2
∴k=3（6分）
∴AB=8k=24，BC=10k=30（7分）

（2）連接OB，
由于⊙O內切于以F、E、B、C為頂點的四邊形，則BE=EF，BC=CF；
由BE：EA=5：3，設BE=5x，EA=3x，
則FA=4x，CD=8x，又CF=AD，∴CF²=CD²+DF²，即CF²=（8x）²+（CF-4x）²，可得CF=10x，DF=6x，則BC=10x；
在Rt△EBC中，EB²+BC²=EC²，即（5x）²+（10x）²=15

5

²，
解得：x=3，則BE=15，BC=30．
再由S_△EBC=S_△OEB+S_△OBC，則

1

2

×BE×BC=

1

2

×BE×r+

1

2

×BC×r，
解得：r=10；
則⊙O的面積為πr²=100π．

點評：本題考查了矩形的性質，會解決一些簡單的翻折問題，能夠利用勾股定理求解直角三角形；同時也考查了切線的性質及勾股定理的應用，難度稍大，解題時要理清思路．