Question

兩條平行直線上各有n個點，用這n個點按如下規則連接線段：
①平行線之間的點在連線段時，可以有共同的端點，但不能有其它交點；
②符合①要求的線段必須全部畫出．
圖（1）展示了當n=1時的情況，此時圖中三角形的個數為0；圖（2）展示了當n=2時的一種情況，此時圖中三角形的個數為2．試回答下列問題：
（I）當n=3時，請在圖（3）中畫出使三角形個數最少的圖形，此時圖中三角形的個數是______；
（II）試猜想當有n對點時，按上述規則畫出的圖形中，最少有______個三角形；
（III）當n=2012時，按上述規則畫出的圖形中，最少有______個三角形．

Answer 1

解：（1）

此時圖中三角形的個數是：4個；
故答案為：4．

（2）當有n對點時，最少可以畫2（n-1）個三角形；
故答案為：2（n-1）；

（3）2×（2012-1）=4022個．
當n=2012時，最少可以畫4022個三角形．
故答案為：4022．
分析：（1）根據題意畫出圖形，根據圖形數出三角形個數即可得出答案；
（2）分析可得，當n=1時的情況，此時圖中三角形的個數為0，有0=2（1-1）；當n=2時的一種情況，此時圖中三角形的個數為2，有2=2（2-1）；…故當有n對點時，最少可以畫2（n-1）個三角形；
（3）當n=2012時，按上述規則畫出的圖形中，最少有2×（2012-1）=4022個三角形．
點評：此題考查了圖形的規律變化，要求學生通過觀察圖形，分析、歸納發現其中的規律，并應用規律解決問題．