Question

如圖，已知菱形ABCD，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F．
（1）求證：CE=CF；
（2）若菱形邊長為8，E是BC的中點，求菱形的面積．

Answer 1

分析：（1）由于四邊形ABCD是菱形，那么可知AC是∠BCD的角平分線，結合AE⊥BC，AF⊥CD，易得AE=AF，而AC是公共邊，易證Rt△AEC≌Rt△AFC，從而有CE=CF；
（2）由于AE⊥BC，E是BC中點，可求BE=4，利用勾股定理易求AE，進而可求△ABC的面積，從而可求菱形ABCD的面積．

解答：解：如右圖所示，連接AC，
（1）∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC是∠BCD的角平分線，
又∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴AE=AF，
又∵AC=AC，
∴Rt△AEC≌Rt△AFC，
∴CE=CF；

（2）∵E是BC中點，AB=BC=8，
∴BE=CE=4，
∴AE=

AB2-BE2

=4

3

，
∴S_△ABC=

1

2

BC×AE=16

3

，
∴S_菱形ABCD=2S_△ABC=32

3

．

點評：本題考查了菱形的性質、角平分線性質、全等三角形的判定和性質、勾股定理．解題的關鍵是連接AC，并求出AE．