Question

如圖，P（m，n）是反比例函數上的一動點，過點P作x軸、y軸的垂線，垂足分別為M、N．
（1）當點P在曲線上運動時，四邊形PMON的面積是否變化？若不變，請求出它的面積，并寫出簡要過程；若改變，請說明理由；
（2）若點P的坐標是（-4，2），試求四邊形PMON對角線的交點P₁的坐標；
（3）隨著點P在曲線上運動，點P₁（m₁，n₁）也跟著運動，試寫出n₁與m₁之間函數的關系式，并說出它的圖象的形狀．

Answer 1

解：（1）四邊形PMON的面積不變…（1分）
由P（m，n）是反比例函數上 得mn=-8，PM=n，PN=-m
∵PM⊥x軸，PN⊥y軸∴四邊形PMON是矩形
∴四邊形PMON的面積=PM•PN=-mn=8∴四邊形PMON的面積不變…（2分）

（2）由于矩形PMON的對角線互相平分，
又∵P（-4，2），
∴P₁的坐標是（-2，1）…（2分）

（3）（寫出關系式即可）…（2分）
該函數的圖象是位于第二象限的雙曲線的一支．…（1分）
分析：（1）根據題意推知四邊形PMON是矩形，然后根據矩形的面積公式求得四邊形PMON的面積=PM•PN=-mn=8，即四邊形PMON的面積不變；
（2）根據矩形的性質（對角線互相平分）和點P的坐標來求，P₁的坐標；
（3）由于點P在曲線上運動，所以點P₁的運動軌跡也是曲線；根據點P₁的坐標，利用待定系數法求得反比例函數的解析式，即n₁與m₁之間函數的關系式即可．
點評：此題主要考查反比例函數的性質，注意通過矩形的性質求得其面積、對角線的交點坐標．同時要注意運用數形結合的思想．