Question

在平面直角坐標系xOy中，O是坐標原點，等邊三角形OAB的一個頂點為A（2，0），另一個頂點B在第一象限內。

（1）求經過O、A、B三點的拋物線的解析式；

（2）如果一個四邊形是以它的一條對角線為對稱軸的軸對稱圖形，那么我們稱這樣的四邊形為“箏形”。點Q在（1）的拋物線上，且以O、A、B、Q為頂點的四邊形是“箏形，求點Q的坐標；

（3）設△OAB的外接圓⊙M，試判斷（2）中的點Q與⊙M的位置關系，并通過計算說明理由。

Answer 1

解：過B作BC⊥x軸于C.

∵ 等邊三角形的一個頂點為，

∴ OB=OA=2，AC=OC=1，∠BOC=60°.

∴ BC=.

∴ B       ……………..1分

設經過O、A、B三點的拋物線的

解析式為：.

將A（2，0）代入得：，

解得.

∴經過O、A、B三點的拋物線的解析式為

.

即.   …………………..2分

（2）依題意分為三種情況：

（ⅰ） 當以OA、OB為邊時，

∵ OA=OB，

∴ 過O作OQ⊥AB交拋物線于Q.

則四邊形OAQB是箏形，且∠QOA=30°.

     作QD⊥軸于D，QD=OD,

設Q，則.

解得：.

∴Q.                           …………..2分

（ⅱ） 當以OA、AB為邊時，由對稱性可知Q .    …………..1分

（ⅲ） 當以OB、AB為邊時，拋物線上不存在這樣的點Q使BOQA為箏形.……..1分

∴Q或.

（3）點Q在內.

由等邊三角形性質可知的外接圓圓心是（2）中BC與OQ的交點，

當Q時，

∵MC∥QD,

∴△OMC∽△OQD.

∴.

∴.

∴ .

∴ =.

又,

∵<,

∴Q在⊙M內.                               ……………..2分

當Q時，由對稱性可知點Q在⊙M內.

綜述，點Q在⊙M內.                                 ……………..1分