Question

【題目】（問題背景）如圖1所示，在中，，，點D為直線上的個動點（不與B、C重合），連結，將線段繞點D按順時針方向旋轉90°，使點A旋轉到點E，連結.

（問題初探）如果點D在線段上運動，通過觀察、交流，小明形成了以下的解題思路：過點E作交直線于F，如圖2所示，通過證明______，可推證是_____三角形，從而求得______°.

（繼續探究）如果點D在線段的延長線上運動，如圖3所示，求出的度數.

（拓展延伸）連接，當點D在直線上運動時，若，請直接寫出的最小值.

圖1 圖2 圖3

Answer 1

【答案】（1）△ADB，等腰直角，135°；（2）45°；（3）.

【解析】

（1）問題初探：由旋轉的性質得到∠ADE=90°，AD=DE，則∠ADB+∠EDF=∠ADB+∠DAB=90°，得到∠DAB=∠EDF，則根據AAS得到△DEF≌△ADB；則EF=BD，DF=AB，則AB=AC=DF，得到BD=CF=EF，則△CEF是等腰直角三角形；從而得到∠DCE=135°；

（2）繼續探究：過點E作EG⊥CD，與（1）同理，可證△ABD≌△DGE，得到BD=GE，AB=DG=BC，則BD=CG=GE，即可得到；

（3）拓展延伸：當點D在直線BC上運動時，當BE⊥CE時，BE的長度是最小值，由（2）可知，則△BCE為等腰直角三角形，則.

解：（1）問題初探：如圖，

由旋轉的性質，得：∠ADE=90°，AD=DE，

∴∠ADB+∠EDF=90°，

∵∠ABC=90°，

∴∠ADB+∠DAB=90°，

∴∠DAB=∠EDF，

∵EF⊥BC，

∴∠ABC=∠DFE=90°，

∴△ADB≌△DEF（AAS）；

∴BD=EF，AB=DF，

∴AB=DF=BC，

∴BD+DC=DC+CF，

∴BD=CF=EF，

∴△CEF是等腰直角三角形；

∴∠CEF=45°，

∴∠DCE=∠CEF+∠CFE=45°+90°=135°；

故答案為：△ADB，等腰直角，135°；

（2）繼續探究：如圖，過點E作EG⊥CD，

∵∠ADE=∠ADB+∠GDE=90°，∠ADB+∠DAB=90°，

∴∠GDE=∠DAB，

∵∠ABD=∠DGE=90°，AD=DE，

∴△ABD≌△DGE（AAS），

∴BD=GE，AB=DG=BC，

∴BD+BG=BG+GC，

∴CG=BD=GE，

∴△CEG是等腰直角三角形，

∴∠DCE=45°；

（3）拓展延伸：如圖，當點D在直線BC上運動時，當BE⊥CE時，BE的長度是最小值；

則∠BEC=90°.

由（2）可知，∠DCE=45°，

∴△BCE是等腰直角三角形，

∴BE=CE，

∵，

∴；

∴BE的最小值為.