Question

已知：如圖，AF平分∠BAC，BC⊥AF于點E，點D在AF上，ED=EA，點P在CF上，連接PB交AF于點M．若∠BAC=2∠MPC，請你判斷∠F與∠MCD的數量關系，并說明理由．

Answer 1

分析：根據全等三角形的性質和判定和線段垂直平分線性質求出AB=AC=CD，推出∠CDA=∠CAD=∠CPM，求出∠MPF=∠CDM，∠PMF=∠BMA=∠CMD，在△DCM和△PMF中根據三角形的內角和定理求出即可．

解答：解：∠F=∠MCD，
理由是：∵AF平分∠BAC，BC⊥AF，
∴∠CAE=∠BAE，∠AEC=∠AEB=90°，
在△ACE和△ABE中
∵

∠AEC=∠AEB AE=AE ∠CAE=∠BAE

，
∴△ACE≌△ABE（ASA）
∴AB=AC，
∵∠CAE=∠CDE
∴AM是BC的垂直平分線，
∴CM=BM，CE=BE，
∴∠CMA=∠BMA，
∵AE=ED，CE⊥AD，
∴AC=CD，
∴∠CAD=∠CDA，
∵∠BAC=2∠MPC，
又∵∠BAC=2∠CAD，
∴∠MPC=∠CAD，
∴∠MPC=∠CDA，
∴∠MPF=∠CDM，
∴∠MPF=∠CDM（等角的補角相等），
∵∠DCM+∠CMD+∠CDM=180°，∠F+∠MPF+∠PMF=180°，
又∵∠PMF=∠BMA=∠CMD，
∴∠MCD=∠F．

點評：本題考查了全等三角形的性質和判定，線段垂直平分線性質，三角形的內角和定理，等腰三角形的性質和判定等知識點的綜合運用，主要考查學生綜合運用定理進行推理的能力，題目比較典型，但是一道比較難的題目．