Question

如圖所示，已知拋物線的頂點為坐標原點O，矩形ABCD的頂點A，D在拋物線上，且AD平行x軸，交y軸于點F，AB的中點E在x軸上，B點的坐標為（2，1），點P（a，b）在拋物線上運動．（點P異于點O）
（1）求此拋物線的解析式；
（2）過點P作CB所在直線的垂線，垂足為點R，
①求證：PF=PR；
②是否存在點P，使得△PFR為等邊三角形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由；
③延長PF交拋物線于另一點Q，過Q作BC所在直線的垂線，垂足為S，試判斷△RSF的形狀。

Answer 1

解：（1）∵拋物線的頂點為坐標原點，
∴A、D關于拋物線的對稱軸對稱；
∵E是AB的中點，
∴O是矩形ABCD對角線的交點，又B（2，1）
∴A（2，﹣1）、D（﹣2，﹣1）；
由于拋物線的頂點為（0，0），可設其解析式為：y=ax²，
則有：4a=﹣1，a=﹣
∴拋物線的解析式為：y=﹣x²．
（2）①證明：由拋物線的解析式知：P（a，﹣a²），而R（a，1）、F（0，﹣1），
則：PF===a²+1，
PR==a²+1．
∴PF=PR．
②由①得：RF=；若△PFR為等邊三角形，
則RF=PF=PR，得：=a²+1，
即：a⁴﹣a²﹣3=0，得：a²=﹣4（舍去），a²=12；
∴a=±2，﹣a²=﹣3；
∴存在符合條件的P點，坐標為（2，﹣3）、（﹣2，3）．
③同①可證得：QF=QS；在等腰△SQF中，∠1=（180°﹣∠SQF）；
同理，在等腰RPF中，∠2=（180°﹣∠RPF）；
∵QS⊥BC、PR⊥BC，
∴QS∥PR，∠SQP+∠RPF=180°
∴∠1+∠2=（360°﹣∠SQF﹣∠RPF）=90°
∴∠SFR=180°﹣∠1﹣∠2=90°，即△SFR是直角三角形．