Question

【題目】如圖，正方形 ABCD 的邊長為 8，E 是 BC 邊的中點，點 P 在射線 AD 上， 過 P 作 PF⊥AE 于 F．

（1）請判斷△PFA 與△ABE 是否相似，并說明理由；

（2）當點 P 在射線 AD 上運動時，設 PA＝x，是否存在實數 x，使以 P，F，E 為頂 點的三角形也與△ABE 相似？若存在，請求出 x 的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）存在，x的值為2或5.

【解析】

（1）在△PFA與△ABE中，易得∠PAF=∠AEB及∠PFA=∠ABE=90°；故可得△PFA∽△ABE；

（2）根據題意：若△EFP∽△ABE，則∠PEF=∠EAB；必須有PE∥AB；分兩種情況進而列出關系式．

(1)證明：∵AD∥BC,

∴∠PAF=∠AEB.

∵∠PFA=∠ABE=90°，

∴△PFA∽△ABE.

(2)

若△EFP∽△ABE，則∠PEF=∠EAB.

如圖，連接PE,DE,

∴PE∥AB.

∴四邊形ABEP為矩形.

∴PA=EB=2，即x=2.

如圖，延長AD至點P，作PF⊥AE于點F,連接PE,

若△PFE∽△ABE，則∠PEF=∠AEB.

∵∠PAF=∠AEB，

∴∠PEF=∠PAF.

∴PE=PA.

∵PF⊥AE，

∴點F為AE的中點.

∵AE=，

∴EF=AE=.

∵，

∴PE=5，即x=5.

∴滿足條件的x的值為2或5.