Question

（2011•道外區二模）菱形OABC在平面直角坐標系中的位置如圖所示，OA=5，cosB=

3

5

，直線AC交y軸于點D，動點P從A出發，以每秒2個單位的速度沿折線A-B-C向終點C勻速運動，同時，動點Q從D點出發，以每秒

5

個單位的速度沿DA向終點A勻速運動，設點P、Q運動的時間為t秒．
（1）求點C的坐標；
（2）求△PCQ的面積S（點P在BC上）與運動時間t的函數關系式，并寫出自變量的取值范圍；
（3）當t=

5

2

時，直線PQ交y軸于F點，求

FD

OD

的值．

Answer 1

分析：（1）由四邊形ABCO是菱形我們可以得出角相等和邊相等，作CE⊥OA交OA于點E，由cosB=

3

5

求出OE的長度，再根據勾股定理就可以求出CE的長度，從而求出C點的坐標．
（2）根據A、C的坐標求出直線AC的解析式，求出AD的長，利用勾股定理求出AC的長，從而求出CD的長度，分為點Q在CD之間和在AC之間時兩個不同的解析式．
（3）當t=

5

2

時，利用相似可以求出Q、B的坐標，從而可以求出直線PQ的解析式，求出OF的值，從求出其結論．

解答：解：（1）作CE⊥OA交OA于點E，
∵四邊形ABCO是菱形，
∴OA=AB=BC=CO=5，∠1=∠B，
∵cosB=

3

5

，
∴cos∠1=

OE

OC

=

3

5

，
∴

OE

5

=

3

5

，
∴OE=3，∴AE=2，
在Rt△OEC和Rt△AEC中，由勾股定理，得
EC=4，CA=2

5

，
∴C（3，4）；

（2）∵OA=5，
∴A（5，0），
設直線AC的解析式為：y=kx+b，由題意，得

4=3k+b 0=5k+b

，解得

k=-2 b=10

，
∴直線AC的解析式為：y=-2x+10，
當x=0時，y=10，
∴OD=10，在Rt△AOD中由勾股定理，得
AD=5

5

，
∴CD=3

5

，
∴當

5

2

≤t＜3時，
DQ=

5

t，QA=5

5

-

5

t，
∴

AQ

AD

=

QG

OD

，
∴

5 5 - 5 t

5 5

=

QG

10

，
∴QG=10-2t，
∴S=

(10-2t)(10-2t-4)

2

，
S=2t²-16t+30，
當3＜t＜5時，
S=

(2t-6)(10-2t)

2

，
S=-2t²+16t-30；

（3）當t=

5

2

時，P（8，4），QG=5，
∴5=-2x+10，
∴x=

5

2

，
∴Q（

5

2

，5），
設直線PQ的解析式為y=kx+b，由題意，得

5= 5 2 k+b 4=8k+b

，解得

k=- 2 11 b= 60 11

，
∴直線PQ的解析式為y=-

2

11

x+

60

11

，
當x=0時，y=

60

11

，
∴OF=

60

11

，
∴FD=

50

11

，
∴

FD

OD

=

5

11

．

點評：本題是一道一次函數的綜合試題，考查了三角形的面積公式的運用菱形的性質，勾股定理的運用，待定系數法求函數的解析式及解直角三角形的相關知識．