Question

【題目】如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，AD＝AC，AD⊥AC，E是AB的中點，F是AC延長線上一點．

（1）若ED⊥EF，求證：ED＝EF；

（2）在（1）的條件下，若DC的延長線與FB交于點P，試判定四邊形ACPE是否為平行四邊形？并證明你的結論（請先補全圖形，再解答）．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）四邊形ACPE為平行四邊形，理由見解析

【解析】

（1）連接CE，根據全等三角形的判定和性質即可得到結論；

（2）根據全等三角形的性質得到CF＝AD，等量代換得到AC＝CF，于是得到CP＝AB＝AE，根據平行四邊形的判定定理即可得到四邊形ACPE為平行四邊形．

（1）證明：在ABCD中，∵AD＝AC，AD⊥AC，

∴AC＝BC，AC⊥BC，

連接CE，如圖所示：

∵E是AB的中點，

∴AE＝EC，CE⊥AB，

∴∠ACE＝∠BCE＝45°，

∴∠ECF＝∠EAD＝135°，

∵ED⊥EF，

∴∠CEF＝∠AED＝90°﹣∠CED，

在△CEF和△AED中，，

∴△CEF≌△AED（ASA），

∴ED＝EF；

（2）四邊形ACPE為平行四邊形，理由如下：

由（1）知△CEF≌△AED，CF＝AD，

∵AD＝AC，

∴AC＝CF，

∵DP∥AB，

∴FP＝PB，

∴CP＝AB＝AE，

∴四邊形ACPE為平行四邊形．