Question

【題目】已知二次函數f（x）＝ax2+bx+c和一次函數g（x）＝﹣bx，其中a、b、c，滿足a＞b＞c，a+b+c＝0．

（1）求證：這兩個函數的圖象交于不同的兩點；

（2）設這兩個函數的圖象交于A，B兩點，作AA1⊥x軸于A1，BB1⊥x軸于B1，求線段A1B1的長的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）＜A1B1＜2．

【解析】

（1）把兩個函數聯立成方程組，轉化為解一元二次方程，用根的判別式求解即可；

（2）A1B12＝（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2，用根與系數的關系轉化為含a、b、c的式子，再配方求解.

（1）證明：聯立方程得：ax2+2bx+c＝0，

△＝4（b2-ac），

∵a＞b＞c，a+b+c＝0，

∴a＞0，c＜0，

∴ac＜0，

∴△＞0，

∴兩函數的圖象相交于不同的兩點；

（2）解：設方程ax2+2bx+c＝0的兩根為x1，x2，則

A1B12＝（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2，

＝（﹣）2﹣＝＝，

＝4[（）2++1]，

＝4[（）2+]，

∵a＞b＞c，a+b+c＝0，

∴b＝﹣（a+c）,

∴a＞﹣（a+c）＞c，a＞0，

∴﹣2＜＜﹣，

此時3＜A1B12＜12，

∴＜A1B1＜2．