Question

【題目】如圖，已知四邊形是矩形，點在對角線上，點在邊上（點與點、不重合），，且．

（1）求證：四邊形是正方形；

（2）聯結，交于點，求證：．

Answer 1

【答案】（1）四邊形是正方形（過程見詳解）

（2）（過程見詳解）

【解析】

（1）本題借助輔助線利用，，找出∠DAC=45°得到DA=DC，即可證明，

（2）本題在（1）的條件下證明△CBE△DFQ，即可求證．

（1）

分別作EP⊥BC，EM⊥CD，

∵四邊形ABCD為矩形，

∴∠ABE=∠BEP，

又BE⊥EF，

∴∠BEP+∠FEP=∠FEP+∠FEM=90°，

∴∠BEP =∠FEM，

∵，

∴，

∴，

即∠CEM=45°，

∴∠DAC=45°，

∴DA=DC，

∴矩形ABCD為正方形．

(2)

由(1)得：∠QDF=∠BCE=45°，，

∵，

∴，

∴，

即∠EBC=∠DFQ(三角形外角等于與其不相鄰兩內角和)，

∴△CBE△DFQ，

∴ ，

∴DFEC=DQBC，

即．