Question

【題目】已知，如圖，△ABC的三條邊BC＝，CA＝，AB＝，D為△ABC內一點，且∠ADB＝∠BDC＝∠CDA＝120°，DA＝，DB＝，DC＝．

（1）若∠CDB＝18°，則∠BCD＝　　　　　　°；

（2）將△ACD繞點Ａ順時針方向旋轉90°到，畫出，若∠CAD＝20°，求度數；

（3）試畫出符合下列條件的正三角形：M為正三角形內的一點，M到正三角形三個頂點的距離分別為、、，且正三角形的邊長為＋＋，并給予證明．

Answer 1

【答案】（1）42；

（2）畫圖見解析， 度數是70°；

（3）畫圖見解析，證明見解析

【解析】（本小題滿分１４分）

解：（１）４２；……………………………………………………………………１分

（２）畫圖如下（如圖５）．………………………………………………………３分

∵∠ＤＡ＝９０°，∠ＣＡＤ＝２０°，

∴∠ＣＡ＝∠ＤＡ－∠ＣＡＤ＝９０°－２０°＝７０°；…………５分

（３）畫圖如下：將△ＢＤＣ繞點Ｂ按逆時針方向旋轉６０°…………………２分

到△ＢＥＦ的位置（如圖６）．

連結ＤＥ，ＣＦ，這樣可知△ＢＤＥ和△ＢＣＦ均為等邊三角形，

從而ＤＥ＝，ＣＦ＝．

∵∠ＡＤＢ＝１２０°，∠ＢＤＥ＝６０°，即∠ＡＤＥ＝１８０°，

則Ａ、Ｄ、Ｅ三點共線（即該三點在同一條直線上）．……………………………３分

同理，∵∠ＢＥＦ＝∠ＢＤＣ＝１２０°，∠ＢＥＤ＝６０°，

即∠ＤＥＦ＝１８０°，則Ｄ、Ｅ、Ｆ三點共線，

∴Ａ、Ｄ、Ｅ、Ｆ四點均在一條直線上．…………………………………………４分

∵ＥＦ＝ＤＣ＝，∴線段ＡＦ＝＋＋．

以線段ＡＦ為邊在點Ｂ一側作等邊△ＡＦＧ（圖６），……………………………５分

則△ＡＦＧ即為符合條件的等邊三角形，其中的點Ｂ即為點Ｍ．…………………６分

正三角形的邊長為＋＋已證，ＢＡ＝，ＢＦ＝ＢＣ＝，

下面再證ＢＧ＝．

∵∠ＣＦＢ＝∠ＡＦＧ＝６０°，

即∠１＋∠ＥＦＢ＝∠２＋∠ＥＦＢ＝６０°，∴∠１＝∠２．

在△ＡＦＣ和△ＧＦＢ中，∵ＦＡ＝ＦＧ，∠１＝∠２，ＦＣ＝ＦＢ，

∴△ＡＦＣ≌△ＧＦＢ（ＳＡＳ），

∴ＡＣ＝ＧＢ，即ＢＧ＝ＣＡ＝．

從而點Ｂ（Ｍ）到等邊△ＡＦＧ三個頂點的距離分別為、、，

且其邊長為＋＋．………………………………………………………………８分

［注：把△ＡＤＢ繞點Ａ按逆時針方向旋轉６０°，

把△ＣＤＡ繞點Ｃ按逆時針方向旋轉６０°，

把△ＡＤＣ繞點Ａ按順時針方向旋轉６０°，

把△ＢＣＤ繞點Ｃ按順時針方向旋轉６０°等

均可證得，方法類似］