Question

【題目】已知：△ABC是等腰三角形，動點P在斜邊AB所在的直線上，以PC為直角邊作等腰三角形PCQ，其中∠PCQ=90°，探究并解決下列問題：

（1）如圖①，若點P在線段AB上，且AC=1+，PA=，則：

①線段PB= ，PC= ；

②猜想：PA2，PB2，PQ2三者之間的數量關系為 ；

（2）如圖②，若點P在AB的延長線上，在（1）中所猜想的結論仍然成立，請你利用圖②給出證明過程；

（3）若動點P滿足，求的值．（提示：請利用備用圖進行探求）

Answer 1

【答案】（1）①，2；②；（2）證明見試題解析；（3）或．

【解析】試題分析：（1）①在等腰直角三角形ACB中，先求得AB的長，然后根據PA的長，可求得PB的長；過點C作CD⊥AB，垂足為D，從而可求得CD、PD的長，然后在Rt三角形CDP中依據勾股定理可求得PC的長；②△ACB為等腰直角三角形，CD⊥AB，從而有：CD=AD=DB，然后根據AP=DC﹣PD，PB=DC+PD，可證明，在Rt△PCQ中，，則可得出結論；

（2）過點C作CD⊥AB，垂足為D，則AP=（AD+PD）=（DC+PD），PB=（DP﹣BD）=（PD﹣DC），可證明，因為在Rt△PCQ中，，則可得出結論；

（3）根據點P所在的位置畫出圖形，然后依據題目中的比值關系求得PD的長（用含有CD的式子表示），然后在Rt△ACP和Rt△DCP中由勾股定理求得AC和PC的長度即可．

試題解析：（1）如圖①：

①∵△ABC是等腰直直角三角形，AC=，∴AB=AC=，∵PA=，∴PB=，作CD⊥AB于D，則AD=CD=，∴PD=AD﹣PA=，在RT△PCD中，PC==2，故答案為：，2；

②如圖1．∵△ACB為等腰直角三角形，CD⊥AB，∴CD=AD=DB，∵AP2=（AD﹣PD）2=（DC﹣PD）2=DC2﹣2DCPD+PD2，PB2=（DB+PD）2=（DC+DP）2=CD2+2DCPD+PD2，∴AP2+BPspan>2=2CD2+2PD2，∵在Rt△PCD中，由勾股定理可知：，∴，∵△CPQ為等腰直角三角形，∴，∴；

（2）如圖②：過點C作CD⊥AB，垂足為D．

∵△ACB為等腰直角三角形，CD⊥AB，∴CD=AD=DB，∵AP2=（AD+PD）2=（DC+PD）2=CD2+2DCPD+PD2，PB2=（DP﹣BD）2=（PD﹣DC）2=DC2﹣2DCPD+PD2，∴AP2+BP2=2CD2+2PD2，∵在Rt△PCD中，由勾股定理可知：，∴，∵△CPQ為等腰直角三角形，∴，∴；

（3）如圖③：過點C作CD⊥AB，垂足為D．

①當點P位于點P1處時．∵，∴．∴．在Rt△CP1D中，由勾股定理得：=DC，在Rt△ACD中，由勾股定理得：AC===DC，∴=．

②當點P位于點P2處時，∵，∴．在Rt△CP2D中，由勾股定理得：==DC，在Rt△ACD中，由勾股定理得：AC===DC，∴=．

綜上所述，的比值為或．