Question

【題目】在Rt△ABC中，∠C=90°，Rt△ABC繞點A順時針旋轉到Rt△ADE的位置，點E在斜邊AB上，連結BD，過點D作DF⊥AC于點F．

（1）如圖1，若點F與點A重合，求證：AC=BC；

（2）若∠DAF=∠DBA，①如圖2，當點F在線段CA的延長線上時，判斷線段AF與線段BE的數量關系，并說明理由；

②當點F在線段CA上時，設BE=x，請用含x的代數式表示線段AF．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）①AF=BE；②AF=x．

【解析】

試題分析：（1）由旋轉得到∠BAC=∠BAD，而DF⊥AC，從而得出∠ABC=45°，最后判斷出△ABC是等腰直角三角形；

（2）①由旋轉得到∠BAC=∠BAD，再根據∠DAF=∠DBA，從而求出∠FAD=∠BAC=∠BAD=60°，最后判定△AFD≌△BED，即可；

②根據題意畫出圖形，先求出角度，得到△ABD是頂角為36°的等腰三角形，再用相似求出，=，最后判斷出△AFD∽△BED，代入即可．

試題解析：（1）由旋轉得，∠BAC=∠BAD，∵DF⊥AC，∴∠CAD=90°，∴∠BAC=∠BAD=45°，∵∠ACB=90°，∴∠ABC=45°，∴AC=CB；

（2）①由旋轉得，AD=AB，∴∠ABD=∠ADB，∵∠DAF=∠ABD，∴∠DAF=∠ADB，∴AF∥BB，∴∠BAC=∠ABD，∵∠ABD=∠FAD

由旋轉得，∠BAC=∠BAD，∴∠FAD=∠BAC=∠BAD=×180°=60°，由旋轉得，AB=AD，∴△ABD是等邊三角形，∴AD=BD，在△AFD和△BED中，∵∠F=∠BED，∠FAD=∠BED，AD=BD，∴△AFD≌△BED，∴AF=BE；

②如圖，由旋轉得，∠BAC=∠BAD，∵∠ABD=∠FAD=∠BAC+∠BAD=2∠BAD，由旋轉得，AD=AB，∴∠ABD=∠ADB=2∠BAD，∵∠BAD+∠ABD+∠ADB=180°，∴∠BAD+2∠BAD+2∠BAD=180°，∴∠BAD=36°，設BD=x，作BG平分∠ABD，∴∠BAD=∠GBD=36°，∴AG=BG=BC=x，∴DG=AD﹣AG=AD﹣BG=AD﹣BD，∵∠BDG=∠ADB，∴△BDG∽△ADB，∴，∴，∴=，∵∠FAD=∠EBD，∠AFD=∠BED，∴△AFD∽△BED，∴，∴AF==x．