Question

【題目】如圖，在菱形ABCD中，連接BD，點E在AB上，連接CE交BD于點F，作FG⊥BC于點G，∠BEC＝3∠BCE，BF＝DF，若FG＝，則AB的長為_____．

Answer 1

【答案】

【解析】

連接AC交BD于M，設BF＝5a，根據菱形的性質及∠BEC＝3∠BCE得到CF平分∠ACB，根據勾股定理求出BF＝，BM＝2，證明Rt△FMC≌Rt△FGC得到CG＝CM，利用勾股定理求出BG，設CG＝CM＝x，則BC＝x+1，再利用勾股定理求出x即可得到答案.

解：連接AC交BD于M，如圖所示：

設BF＝5a，則DF＝11a，

∴BD＝16a，

∵四邊形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，∠ACB＝∠ACD，AB＝BC，AB∥CD，BM＝DM＝BD＝8a，

∴FM＝BM﹣BF＝3a，

∵AB∥CD，

∴∠BEC＝∠ECD，

∵∠BEC＝3∠BCE，

∴∠ECD＝3∠BCE，

∴∠ACE＝∠BCE，

∴CF平分∠ACB，

∵FG⊥BC，FM⊥AC，

∴FG＝FM＝，

∴3a＝，

∴a＝，

∴BF＝，BM＝2，

在Rt△FMC和Rt△FGC中，，

∴Rt△FMC≌Rt△FGC（HL），

∴CG＝CM，

在Rt△BFG中，BG＝＝1，

設CG＝CM＝x，則BC＝x+1，

在Rt△BMC中，由勾股定理得：22+x2＝（x+1）2，

解得：x＝，

∴AB＝BC＝．