Question

【題目】關于x的一元二次方程x2﹣（m﹣3）x﹣m2=0．

（1）證明：方程總有兩個不相等的實數根；

（2）設這個方程的兩個實數根為x1，x2，且|x1|=|x2|﹣2，求m的值及方程的根．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）x1=﹣1+，x2=﹣1﹣或

【解析】試題分析：（1）根據一元二次方程的判別式△=b2﹣4ac的結果判斷即可，當△＞0時，有兩個不相等的實數根，當△=0時，有兩個相等的實數根，當△＜0時，方程沒有實數根；

（2）根據一元二次方程根與系數的關系x1+x2=-，x1x2=，表示出兩根的關系，得到x1，x2異號，然后根據絕對值的性質和兩根的關系分類討論即可求解.

試題解析：（1）一元二次方程x2﹣（m﹣3）x﹣m2=0，

∵a=1，b=﹣（m﹣3）=3﹣m，c=﹣m2，

∴△=b2﹣4ac=（3﹣m）2﹣4×1×（﹣m2）=5m2﹣6m+9=5（m﹣）2+，

∴△＞0，

則方程有兩個不相等的實數根；

（2）∵x1x2==﹣m2≤0，x1+x2=m﹣3，

∴x1，x2異號，

又|x1|=|x2|﹣2，即|x1|﹣|x2|=﹣2，

若x1＞0，x2＜0，上式化簡得：x1+x2=﹣2，

∴m﹣3=﹣2，即m=1，

方程化為x2+2x﹣1=0，

解得：x1=﹣1+，x2=﹣1﹣，

若x1＜0，x2＞0，上式化簡得：﹣（x1+x2）=﹣2，

∴x1+x2=m﹣3=2，即m=5，

方程化為x2﹣2x﹣25=0，

解得：x1=1﹣，x2=1+．