Question

（2009•煙臺）如圖，拋物線y=ax²+bx-3與x軸交于A，B兩點，與y軸交于C點，且經過點（2，-3a），對稱軸是直線x=1，頂點是M．
（1）求拋物線對應的函數表達式；
（2）經過C，M兩點作直線與x軸交于點N，在拋物線上是否存在這樣的點P，使以點P，A，C，N為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）設直線y=-x+3與y軸的交點是D，在線段BD上任取一點E（不與B，D重合），經過A，B，E三點的圓交直線BC于點F，試判斷△AEF的形狀，并說明理由；
（4）當E是直線y=-x+3上任意一點時，（3）中的結論是否成立（請直接寫出結論）．

Answer 1

【答案】分析：（1）依題意聯立方程組求出a，b的值后可求出函數表達式．
（2）分別令x=0，y=0求出A、B、C三點的坐標，然后易求直線CM的解析式．證明四邊形ANCP為平行四邊形可求出點P的坐標．
（3）求出直線y=-x+3與坐標軸的交點D，B的坐標．然后證明∠AFE=∠ABE=45°，AE=AF，可證得三角形AEF是等腰直角三角形．
（4）根據（3）中所求，即可得出當E是直線y=-x+3上任意一點時，（3）中的結論仍成立．
解答：解：（1）根據題意，得，
解得，
∴拋物線對應的函數表達式為y=x²-2x-3；

（2）存在．連接AP，CP，
如下圖所示：

在y=x²-2x-3中，令x=0，得y=-3．
令y=0，得x²-2x-3=0，
∴x₁=-1，x₂=3．
∴A（-1，0），B（3，0），C（0，-3）．
又y=（x-1）²-4，
∴頂點M（1，-4），
容易求得直線CM的表達式是y=-x-3．
在y=-x-3中，令y=0，得x=-3．
∴N（-3，0），
∴AN=2，
在y=x²-2x-3中，令y=-3，得x₁=0，x₂=2．
∴CP=2，
∴AN=CP．
∵AN∥CP，
∴四邊形ANCP為平行四邊形，此時P（2，-3）；

（3）
△AEF是等腰直角三角形．
理由：在y=-x+3中，令x=0，得y=3，令y=0，得x=3．
∴直線y=-x+3與坐標軸的交點是D（0，3），B（3，0）．
∴OD=OB，
∴∠OBD=45°，
又∵點C（0，-3），
∴OB=OC．
∴∠OBC=45度，
由圖知∠AEF=∠ABF=45°，∠AFE=∠ABE=45°，
∴∠EAF=90°，且AE=AF．
∴△AEF是等腰直角三角形；

（4）當點E是直線y=-x+3上任意一點時，（3）中的結論：△AEF是等腰直角三角形成立．
點評：本題綜合考查了等腰直角三角形的判定以及二次函數結合圖形的應用，難度較大．