Question

【題目】如圖1，在四邊形ABCD中，點E、F分別是AB、CD的中點，過點E作AB的垂線，過點F作CD的垂線，兩垂線交于點G，連接AG、BG、CG、DG，且∠AGD=∠BGC．

（1）求證：AD=BC；
（2）求證：△AGD∽△EGF；
（3）如圖2，若AD、BC所在直線互相垂直，求 的值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵GE是AB的垂直平分線，

∴GA=GB，

同理：GD=GC，

在△AGD和△BGC中，

，

∴△AGD≌△BGC（SAS），

∴AD=BC；

（2）證明：∵∠AGD=∠BGC，

∴∠AGB=∠DGC，

在△AGB和△DGC中， ，

∴△AGB∽△DGC，

∴ ，

又∵∠AGE=∠DGF，

∴∠AGD=∠EGF，

∴△AGD∽△EGF

（3）解：延長AD交GB于點M，交BC的延長線于點H，如圖所示：

則AH⊥BH，

∵△AGD≌△BGC，

∴∠GAD=∠GBC，

在△GAM和△HBM中，∠GAD=∠GBC，∠GMA=∠HMB，

∴∠AGB=∠AHB=90°，

∴∠AGE= ∠AGB=45°，

∴ ，

又∵△AGD∽△EGF，

∴ = = ．

【解析】（1）由GE是AB的垂直平分線，得到GA=GB，同理GD=GC，△AGD≌△BGC（SAS），得到AD=BC；（2）由∠AGD=∠BGC，得到∠AGB=∠DGC，在△AGB和△DGC中，由比值得到△AGB∽△DGC，得到EG：FG=GA：GD，又∠AGE=∠DGF，得到∠AGD=∠EGF，所以△AGD∽△EGF；（3）由△AGD≌△BGC，得到∠GAD=∠GBC，在△GAM和△HBM中，∠GAD=∠GBC，∠GMA=∠HMB，得到∠AGB=∠AHB=90°，∠AGE= ∠AGB=45°，又△AGD∽△EGF，得到.
【考點精析】根據題目的已知條件，利用相似三角形的判定與性質的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．