Question

如圖，平面直角坐標(biāo)系中，將含30°的三角尺的直角頂點(diǎn)C落在第二象限。其斜邊兩端點(diǎn)A、B分別落在x軸、y軸上，且AB=12cm

（1）       若OB=6cm．

①     求點(diǎn)C的坐標(biāo)；

②     若點(diǎn)A向右滑動(dòng)的距離與點(diǎn)B向上滑動(dòng)的距離相等，求滑動(dòng)的距離；

（2）       點(diǎn)C與點(diǎn)O的距離的最大值=       cm.

 

Answer 1

解：(1)① 過(guò)點(diǎn)C作y軸的垂線(xiàn)，垂足為D，

        在Rt△AOB中，AB=12， OB=6，則BC=6，

        ∴∠BAO=30°，∠ABO=60°，

        又∠CBA=60°，∴∠CBD=60°，∠BCD=30°，

        ∴BD=3，CD=3 ．

        ② 設(shè)點(diǎn)A向右滑動(dòng)的距離為x，根據(jù)題意得點(diǎn)B向動(dòng)的距離也為x,

AO=12×cos∠BAO=12×cos30°=6 ．

∴A'O=6－x，B'O=6＋x ，A'B'=AB=12

在△A'O B'中，由勾股定理得，

(6－x)²＋(6＋x)²=12²

解得，x=6(－1)

∴滑動(dòng)的距離為6(－1)．

(2)設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(x,y)，過(guò)C作CE ⊥ x軸，CD ⊥ y軸， 垂足分別為E，D

則OE=－x，OD=y，

∵∠ACE＋∠BCE=90°，∠DCB＋∠BCE=90°

∴∠ACE=∠DCB，

又∵∠AEC=∠BDC=90°，

∴△ACE ∽ △BCD

∴，即，

∴y=－x，

OC²=x²＋y²= x²＋(－x)²=4x²,

∴當(dāng)︱x︱取最大值時(shí)即C到y軸距離最大時(shí)OC²有最

大值，即OC取最大值，如圖，即當(dāng)C'B'轉(zhuǎn)到與y軸垂時(shí)

．此時(shí)OC=12．