Question

（2013•嘉興）小明在做課本“目標與評定”中的一道題：如圖1，直線a，b所成的角跑到畫板外面去了，你有什么辦法量出這兩條直線所成的角的度數？小明的做法是：如圖2，畫PC∥a，量出直線b與PC的夾角度數，即直線a，b所成角的度數．

（1）請寫出這種做法的理由；
（2）小明在此基礎上又進行了如下操作和探究（如圖3）：①以P為圓心，任意長為半徑畫圓弧，分別交直線b，PC于點A，D；②連結AD并延長交直線a于點B，請寫出圖3中所有與∠PAB相等的角，并說明理由；
（3）請在圖3畫板內作出“直線a，b所成的跑到畫板外面去的角”的平分線（畫板內的部分），只要求作出圖形，并保留作圖痕跡．

Answer 1

分析：（1）根據平行線的性質得出即可；
（2）根據題意，有3個角與∠PAB相等．由等腰三角形的性質，可知∠PAB=∠PDA；又對頂角相等，可知∠BDC=∠PDA；由平行線性質，可知∠PDA=∠1．因此∠PAB=∠PDA=∠BDC=∠1；
（3）作出線段AB的垂直平分線EF，由等腰三角形的性質可知，EF是頂角的平分線，故EF即為所求作的圖形．

解答：解：（1）PC∥a（兩直線平行，同位角相等）；

（2）∠PAB=∠PDA=∠BDC=∠1，
如圖，∵PA=PD，
∴∠PAB=∠PDA，
∵∠BDC=∠PDA（對頂角相等），
又∵PC∥a，
∴∠PDA=∠1，
∴∠PAB=∠PDA=∠BDC=∠1；

（3）如圖，作線段AB的垂直平分線EF，則EF是所求作的圖形．

點評：本題涉及到的幾何基本作圖包括：（1）過直線外一點作直線的平行線，（2）作線段的垂直平分線；涉及到的考點包括：（1）平行線的性質，（2）等腰三角形的性質，（3）對頂角的性質，（4）垂直平分線的性質等．本題借助實際問題場景考查了學生的幾何基本作圖能力，是一道好題．題目篇幅較長，需要仔細閱讀，理解題意，正確作答．