Question

已知，如圖：正方形ABCD，AC是對角線，點P是AC上一點，連接PB，以PB為腰作等腰直角三角形△PBE，PE與直線AB相交于點F，連接PD，設AP=nPC．
（1）如圖1直接寫出：

PD

PE

=

 

（2）如圖1當n=2時，求

PF

PE

的值．
（3）如圖2：當點P在AC延長線上，其它條件均不變，當n=

 

時，PE=5EF．

Answer 1

分析：（1）通過求證△DPC≌△BPC，即可推出PD=BP，然后，通過直角三角形中45°角的函數值，即可推出結論；
（2）由正方形和等腰直角三角形的性質，推出△PFA∽△BPC，△EBP∽△ABC，可得AP：BC=PF：BP，EP：AC=BP：BC，然后根據比例式的性質，即可推出PF：PE=AP：AC，再由AP=2PC，求得AP：AC=2：3，即可推出結果；
（3）結合圖形，根據（2）解題思路，由正方形和等腰直角三角形的性質，推出△EBP∽△ABC，△PBC∽△FPA，得出對應邊成比例，EP：AC=BP：BC，AP：BC=PF：BP，然后，根據比例式的性質，即可得PE：PF=AC：AP，由PE=5EF，即可推出AC：AP=5：6，求得n的值．

解答：解：（1）

2

2

；

（2）∵正方形ABCD，AC為其對角線，
∴FAP=∠BCP=45°，
∵等腰Rt△EBP，
∴∠E=∠BPF=∠PAF，
∵∠EFB=∠AFP，
∴∠EBF=∠PBC，
∵∠EBP=∠ABC=90°，
∴∠EBF=∠PBC，
∴△PFA∽△BPC，△EBP∽△ABC，
∴AP：BC=PF：BP，EP：AC=BP：BC，
∴BP：BC=PF：AP，
∴EP：AC=PF：AP，即PF：PE=AP：AC，
∵n=2，
∴AP=2PC，
∴AP：AC=2：3，
∴PF：PE=AP：AC=2：3；

（3）∵正方形ABCD，AC為其對角線，
∴∠BAC=∠BCA=45°，
∵等腰直角三角形EBP，
∴∠BEP=∠BPE=45°，
∴△EBP∽△ABC，
∴EP：AC=BP：BC，
∴∠FBE=∠FPA，
∵∠ABC=∠EBP=90°，
∴∠FBE=∠PBC，
∴∠PBC=∠FPA，
∴△PBC∽△FPA，
∴AP：BC=PF：BP，
∴BP：BC=PF：AP，
∵BP：BC=PE：AC，
∴PF：AP=PE：AC，即PE：PF=AC：AP，
∵PE=5EF，
∴PE：PF=5：6，
∴AC：AP=5：6，
∴AP：PC=6：1，
∵AP=nPC，
∴n=6，
∴當n=6時，PE=5EF．
故答案為

2

2

，6．

點評：本題主要考查相似三角形的判定與性質、內角和定理、正方形的性質、等腰直角三角形的性質、比例式的性質等知識點，關鍵在于推出相關三角形相似，推出對應邊成比例，正確地根據比例式的性質對比例式進行變形．