Question

【題目】在平面直角坐標系中，點A、B分別在x軸、y軸上，點A與點C關于y軸對稱，點E是線段AC上的點（點E不與點A、C重合）

（1）若點A的坐標為（a，0），則點C的坐標為 ；

（2）如圖1，點F是線段AB上的點，若∠BEF=∠BAO，∠BAO=2∠OBE，求證：AF=CE；

（3）如圖2，若點D為AC上一點，連接ED，滿足BE=BD，試探究∠ABE與∠DEC的關系．

Answer 1

【答案】（1）（-a，0）．（2）證明見解析；（3）∠ABE=2∠DEC．

【解析】

（1）利用對稱性直接寫成點C的坐標；

（2）根據三角形的內角和，等腰三角形的性質先判斷出，∠ABE=∠BFE，進而得出BE=EF，在判斷出，∠CBE=∠AEF，進而判定，△AEF≌△CBE，即可得出結論；

（3）設∠OBE=α，∠CBE=β，用三角形的內角和表示出∠ABE=2α+β，利用等腰三角形的性質表示出∠DEC=（2α+β），即可得出結論．

（1）∵點A（a，0）與點C關于y軸對稱，

∴C（-a，0），

故答案為（-a，0）．

（2）設∠OBE=α，

∴∠BAO=2∠OBE=2α，∠BEF=∠BAO=α，

由對稱得，OA=OC，

∵BO⊥AC，

∴AB=CB，

∴∠BAO=∠BCO=2α，

∴∠ABE=∠ABO+∠OBE=90°-α，

在△BEF中，∠BFE=180°-（∠BEF+∠EBF）=90°-α，

∴∠ABE=∠BFE，

∴BE=EF，

在Rt△AOB中，∠ABO=90°-2α，

∴∠ACB=2α，∠CBO=∠90°-2α，

∵∠OBE=α，

∴∠CBE=90°-3α，

在△BCE中，根據三角形的內角和得，∠BEC=90°+α，

∴∠AEF=180°-∠BEF-∠BEC=90°-3α，

∴∠CBE=∠AEF，

在△AEF和△CBE中，，

∴△AEF≌△CBE，

∴AF=CE，

（3）設∠OBE=α，∠CBE=β，

∴∠CBO=α+β，由（1）知，∠ABO=∠CBO=α+β，

∴∠ABE=∠ABO+∠OBE=α+β+α=2α+β，

在Rt△OBE中，∠OEB=90°-α，

在△BDE中，BD=BE，

∴∠BED=90°-β，

∴∠DEC=180°-∠OEB-∠BED=（2α+β），

∵∠ABE=2α+β，

∴∠ABE=2∠DEC．