Question

如圖，直線AB過x軸上的點A（2，0），且與拋物線y=ax²相交于B、C兩點，已知點B的坐標是（1，1），
（1）求直線AB和拋物線所表示的函數解析式；
（2）如果在第一象限，拋物線上有一點D，使得S_△OAD=S_△OBC，求這時D點坐標．

Answer 1

分析：（1）將A、B兩點坐標代入y=kx+b中，可求直線解析式，將B點坐標代入y=ax²中，可求拋物線解析式；
（2）聯立直線與拋物線解析式，可求C點坐標，用S_△OBC=S_△OCA-S_△OBA，可求△OAD的面積，又已知OA，可求D點的縱坐標．

解答：解：（1）設直線AB所表示的函數解析式為y=kx+b，
∵它過點A（2，0）和點B（1，1），
∴

2k+b=0 k+b=1

，
解得

k=-1 b=2

，
∴直線AB所表示的函數解析式為y=-x+2，
∵拋物線y=ax²過點B（1，1），
∴a×1²=1，
解得a=1，
∴拋物線所表示的函數解析式為y=x²；

（2）解方程組

y=-x+2 y=x2

，
得

x1=-2 y1=4

，

x2=1 y2=1

，
∴C點坐標為（-2，4）；
又B點坐標為（1，1），A點坐標為（2，0），
∴OA=2，
S△OAC=

1

2

×2×4=4，
S△OAB=

1

2

×2×1=1，
∴S_△OBC=S_△OAC-S_△OAB=4-1=3，
設D點的縱坐標為y_D，
則S_△OAD=

1

2

×OA×|y_D|=

1

2

×2×y_D=3，
把y=3代入y=x²，
得x=±

3

，
又∵點D在第一象限，
∴xD=

3

，
∴D點坐標為（

3

，3）．

點評：本題考查了一次函數、二次函數解析式的求法，兩個函數圖象交點坐標的求法，以及坐標系中面積的表示方法．