Question

如圖，l₁，l₂，l₃，l₄是同一平面內的四條平行直線，且每相鄰的兩條平行直線間的距離為h，正方形ABCD的四個頂點分別在這四條直線上，且正方形ABCD的面積是25．
（1）連接EF，證明△ABE、△FBE、△EDF、△CDF的面積相等．
（2）求h的值．

Answer 1

分析：（1）△ABE和△FBE同底同高，因而面積相等，同理△FBE和△EDF的面積相等，△EDF和△CDF的面積相等，因而△ABE、△FBE、△EDF、△CDF的面積相等．
（2）根據正方形的面積就可以求出邊長，得到AE，AB的長，根據勾股定理得到BE的長，△ABE的面積是長方形的面積的

1

4

，再根據三角形的面積等于

1

2

BE•h就可以求出h的長．

解答：（1）證明：連接EF，
∵l₁∥l₂∥l₃∥l₄，且四邊形ABCD是正方形，
∴BE∥FD，BF∥ED，
∴四邊形EBFD為平行四邊形，
∴BE=FD，（2分）
又∵l₁、l₂、l₃和l₄之間的距離為h，
∴S_△ABE=

1

2

BE•h，S_△FBE=

1

2

BE•h，
S_△EDF=

1

2

FD•h，S_△CDF=

1

2

FD•h，
∴S_△ABE=S_△FBE=S_△EDF=S_△CDF．（4分）

（2）解：過A點作AH⊥BE于H點，過E點作EM⊥FD于M點，
方法一：∵S_△ABE=S_△FBE=S_△EDF=S_△CDF，
又∵正方形ABCD的面積是25，
∴S_△ABE=

25

4

，且AB=AD=5，（7分）
又∵l₁∥l₂∥l₃∥l₄，每相鄰的兩條平行直線間的距離為h，
∴AH=EM=h，
∵AH⊥l₂，EM⊥l₃，l₂∥l₃，
∴∠3=∠4=90°，AH∥EM，
∴∠1=∠2，
∴△AHE≌△EMD，
∴AE=DE，
同理：BF=FC，
∴E、F分別是AD與BC的中點，
∴AE=

1

2

AD=

5

2

，
∴在Rt△ABE中，
BE=

AB2+AE2

=

5 5

2

，（10分）
又∵AB•AE=BE•AH，
∴AH=

AB•AE

BE

=

5× 5 2

5 5 2

=

5

．（12分）
方法二：不妨設BE=FD=x（x＞0），
則S_△ABE=S_△FBE=S_△EDF=S_△CDF=

xh

2

，（6分）
又∵正方形ABCD的面積是25，
∴S_△ABE=

1

2

xh=

25

4

，且AB=5，
則xh=

25

2

①，（8分）
又∵在Rt△ABE中：AE=

BE2-AB2

=

x2-52

，
又∵∠BAE=90°，AH⊥BE，
∴Rt△ABE∽Rt△HAE，
∴

AH

AB

=

AE

BE

，即

h

5

=

x2-52

x

，
變形得：（hx）²=25（x²-5²）②（10分），
把①兩邊平方后代入②得：

252

4

=25（x²-5²）③，
解方程③得x=

5 5

2

（x=-

5 5

2

舍去），
把x=

5 5

2

代入①得：h=

5

．（12分）

點評：本題主要考查了勾股定理，根據三角形的面積公式得到四個三角形的面積相等是解決本題的關鍵．