Question

【題目】在平面直角坐標系中，拋物線：的對稱軸是軸，過點作一直線與拋物線相交于，兩點，過點作軸的垂線與直線相交于點．

（1）求拋物線的解析式；

（2）判斷點是否在直線上，并說明理由；

（3）若直線與拋物線有且只有一個公共點，且與拋物線的對稱軸不平行，則稱該直線與拋物線相切．過拋物線上的任意一點（除頂點外）作該拋物線的切線，分別交直線和直線于點，，求的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）在，見解析；（3）-8

【解析】

（1）由拋物線的對稱軸是y軸可列式求出k，即可得到結果；

（2）過的直線與拋物線交于，兩點，設直線的解析式為將代入，得，可判斷出該方程有兩個不相等的實數根，，設，，設出直線的解析式為，設，，，計算可得，即可求出A的坐標，進行判斷即可；

（3）根據題意可設直線解析式，依題意得，得到，可求出切線的解析式為，得到，由勾股定理得，代入即可求解；

解：（1）∵拋物線的對稱軸是軸，

∴且，

∴，

解得，

∴拋物線的解析式為．

（2）點在直線上．

理由如下：∵過的直線與拋物線交于，兩點，

∴直線與軸不垂直．

設直線的解析式為，

將代入，得，

∴，

∴該方程有兩個不相等的實數根，，

不妨設，，

∴直線的解析式為．

設．

∵軸交直線于點，

∴，

∴．

又方程的解為，

∴，

∴，

即點的縱坐標為－2，

∴點在直線上．

（3）∵切線不過拋物線的頂點，

∴設切線的解析式為．

將代入，得，

依題意得，

即，

∴，

∴切線的解析式為．

當時，，∴．·

當時，，∴．

∵，

∴，

由勾股定理得，

∴

．