Question

我國是最早了解和應用勾股定理的國家之一，古代印度、希臘、阿拉伯等許多國家也都很重視對勾股定理的研究和應用，古希臘數學家畢達哥拉斯首先證明了勾股定理，在西方，勾股定理又稱為“畢達哥拉斯定理”．
關于勾股定理的研究還有一個很重要的內容是勾股數組，在《幾何》課本中我們已經了解到，“能夠成為直角三角形三條邊的三個正整數稱為勾股數”，以下是畢達哥拉斯等學派研究出的確定勾股數組的兩種方法：
方法1：若m為奇數（m≥3），則a=m，b=（m²-1）和c=（m²+1）是勾股數．
方法2：若任取兩個正整數m和n（m＞n），則a=m²-n²，b=2mn，c=m²+n²是勾股數．
（1）在以上兩種方法中任選一種，證明以a，b，c為邊長的△ABC是直角三角形；
（2）請根據方法1和方法2按規律填寫下列表格：

（3）某園林管理處要在一塊綠地上植樹，使之構成如下圖所示的圖案景觀，該圖案由四個全等的直角三角形組成，要求每個三角形頂點處都植一棵樹，各邊上相鄰兩棵樹之間的距離均為1米，如果每個三角形最短邊上都植6棵樹，且每個三角形的各邊長之比為5：12：13，那么這四個直角三角形的邊長共需植樹______棵．

Answer 1

解：（1）方法1、c-a=（m²+1）-m=（m²-2m+1）=（m-1）²＞0，c-b=1＞0，
所以c＞a，c＞b．而a²+b²=m²+[（m²-1）]²=（m⁴-2m²+1）+m²
=（m⁴+2m²+1）=[（m²+1）]²=c²，
所以以a、b、c為邊的三角形是直角三角形．
同理可證方法2．

（2）方法1中自上而下：7、24、25；9、40、41．
方法2中自上而下：5、2、21、20、29；5、1、24、10、26．

（3）∵各邊上相鄰兩棵樹之間的距離均為1米，如果每個三角形最短邊上都植6棵樹，
∴三角形最短邊為5米，
又∵各邊長之比為5：12：13，
∴其他兩邊分別為12、13米．
∴每個三角形的邊長可植樹5+12+13=30棵，
∴四個直角三角形的邊長共需植樹120棵．
分析：（1）先比較三邊的大小，確定為斜邊的是c，再求a²+b²=[（m²+1）]²=c²；
（2）按規律，方法1該填7、9對應的值；方法2該填5、2；5、1對應的值；
（3）由各邊上相鄰兩棵樹之間的距離均為1米，如果每個三角形最短邊上都植6棵樹，可得三角形最短邊為5米，又有各邊長之比為5：12：13，可得其他兩邊分別為12、13米．則每個三角形的邊長可植樹5+12+13=30棵，四個直角三角形的邊長共需植樹120棵．
點評：此題的關鍵是讓學生熟悉勾股數的定義，經常用的勾股數應該識記．