Question

【題目】已知點A，B在數軸上對應的實數分別是a，b，其中a，b滿足|a﹣2|+（b+1）2=0．

（1）求線段AB的長；

（2）點C在數軸上對應的數為x，且x是方程x﹣1=x+1的解，在數軸上是否存在點P，使PA+PB=PC，若存在，求出點P對應的數；若不存在，說明理由；

（3）在（1）和（2）的條件下，點A，B，C同時開始在數軸上運動，若點A以每秒1個單位長度的速度向左運動，點B和點C分別以每秒4個單位長度和9個單位長度的速度向右運動，點B與點C之間的距離表示為BC，點A與點B之間的距離表示為AB，設運動時間為t秒，試探究：隨著時間t的變化，AB與BC滿足怎樣的數量關系？請寫出相應的等式．

Answer 1

【答案】（1）3；（2）﹣2或0；（3）t≤時，AB+BC=7；當t＞時，BC﹣AB=7．

【解析】

（1）根據絕對值及完全平方的非負性，可得出a、b的值，繼而可得出線段AB的長；

（2）先求出x的值，再由PA+PB=PC，可得出點P對應的數；

（3）根據A，B，C的運動情況確定AB，BC的變化情況，再根據t的取值范圍即可求出AB與BC滿足的數量關系．

（1）∵|a﹣2|+（b+1）2=0，∴a=2，b=﹣1，∴線段AB的長為：2﹣（﹣1）=3；

（2）解方程x﹣1=x+1，得x=3，則點C在數軸上對應的數為3．

由圖知，滿足PA+PB=PC時，點P不可能在C點右側，不可能在線段AC上，①如果點P在點B左側時，2﹣x+（﹣1）﹣x=3﹣x，解得：x=﹣2；

③當P在A、B之間時，3﹣x=3，解得：x=0．

故所求點P對應的數為﹣2或0；

（3）t秒鐘后，A點位置為：2﹣t，B點的位置為：﹣1+4t，C點的位置為：3+9t，BC=3+9t﹣（﹣1+4t）=4+5t，AB=|﹣1+4t﹣2+t|=|5t﹣3|，分兩種情況討論：

①當t≤時，AB+BC=3﹣5t+4+5t=7；

②當t＞時，BC﹣AB=4+5t﹣（5t﹣3）=7．

綜上所述：當t≤時，AB+BC=7；當t＞時，BC﹣AB=7．