Question

【題目】如圖， 是邊長為的等邊三角形，邊在射線上，且，點從點出發，沿OM的方向以1cm/s的速度運動，當D不與點A重合時，將繞點C逆時針方向旋轉60°得到，連接DE.

（1）如圖1，求證： 是等邊三角形；

（2）如圖2，當6<t<10時，DE是否存在最小值？若存在，求出DE的最小值；若不存在，請說明理由.

（3）當點D在射線OM上運動時，是否存在以D，E，B為頂點的三角形是直角三角形？若存在，求出此時t的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）存在， DE=2cm；（3）存在，當t=2或14s時，以D、E、B為頂點的三角形是直角三角形.

【解析】試題分析：

（1）由旋轉的性質結合△ABC是等邊三角形可得∠DCB=60°，CD=CE，從而可得△CDE是等邊三角形；

（2）由（1）可知△CDE是等邊三角形，由此可得DE=CD，因此當CD⊥AB時，CD最短，則DE最短，結合△ABC是等邊三角形，AC=4即可求得此時DE=CD=；

（3）由題意需分0≤t＜6，6＜t＜10和t＞10三種情況討論，①當0≤t＜6時，由旋轉可知，∠ABE=60°，∠BDE＜60°，由此可知：此時若△DBE是直角三角形，則∠BED=90°；②當6＜t＜10s時，由性質的性質可知∠DBE=120°＞90°，由此可知：此時△DBE不可能是直角三角形；③當t＞10s時，由旋轉的性質可知，∠DBE=60°，結合∠CDE=60°可得∠BDE=∠CDE+∠BDC=60°+∠BDC>60°，由此可得∠BED<60°，由此可知此時若△BDE是直角三角形，則只能是∠BDE=90°；這樣結合已知條件即可分情況求出對應的t的值了.

試題解析：

（1）∵將△ACD繞點C逆時針方向旋轉60°得到△BCE，

∴∠DCE=60°，DC=EC，

∴△CDE是等邊三角形；

（2）存在，當6＜t＜10時，

由（1）知，△CDE是等邊三角形，

∴DE=CD，

由垂線段最短可知，當CD⊥AB時，CD最小，

此時∠ADC=90°，又∵∠ACD=60°，

∴∠ACD=30°，

∴ AD=AC=2，

∴ CD=，

∴ DE=2（cm）；

（3）存在，理由如下：

①當0s≤t＜6s時，由旋轉可知，∠ABE=60°，∠BDE＜60°，

∴此時若△DBE是直角三角形，則∠BED=90°，

由（1）可知，△CDE是等邊三角形，

∴∠DEC=60°，

∴∠CEB=∠BED-∠DEC=30°，

∴∠CDA=∠CEB=30°，

∵∠CAB=60°，

∴∠ACD=∠ADC=30°，

∴DA=CA=4，

∴OD=OA﹣DA=6﹣4=2，

∴t=2÷1=2（s）；

②當6s＜t＜10s時，由性質的性質可知∠DBE=120°＞90°，

∴此時△DBE不可能是直角三角形；

③當t＞10s時，由旋轉的性質可知，∠DBE=60°，

又由（1）知∠CDE=60°，

∴∠BDE=∠CDE+∠BDC=60°+∠BDC，

而∠BDC＞0°，

∴∠BDE＞60°，

∴只能∠BDE=90°，

從而∠BCD=30°，

∴BD=BC=4，

∴OD=14cm，

∴t=14÷1=14（s）；

綜上所述：當t=2s或14s時，以D、E、B為頂點的三角形是直角三角形.