Question

如圖，四邊形AOBC為直角梯形，OC=

5

，OB=5AC，OC所在的直線的函數解析式為y=2x，平行于OC的直線m的解析式為y=2x+t．直線m由A點平移到B點時，m與直角梯形AOBC兩邊所圍成的三角形的面積記為S．
（1）求點C的坐標及t的取值范圍；
（2）求S與t之間的函數關系式及當S=1.8時，t的值．

Answer 1

分析：（1）根據直線y=2x的解析式結合勾股定理即可求得點C的坐標，根據點A和點B的坐標即可求得t的取值范圍；
（2）分兩種情況考慮：當0≤t≤2時，直線與y軸的交點是（0，t），與AC的交點是（1-

t

2

，2），則S=

1

2

•（2-t）•（1-

t

2

）=

1

4

t²-t+1；當-10≤t≤0時，則直線與x軸的交點是（-

t

2

，0）．作DE⊥x軸于E，CF⊥x軸于F，則△BDE∽△BCF，則

DE

BE

=

CF

BF

=

1

2

，即設D（5-2a，a），則有a=2（5-2a）+t，a=2+

t

5

，則S=

1

2

•（5+

t

2

）（2+

t

5

）=

t2

20

+t+5．根據S的解析式進一步求得S=1.8時對應的t值．

解答：解：（1）設C（x，2x）（x＞0）．
根據勾股定理，得x²+（2x）²=5，
則x=1，
即C（1，2）．
所以A（0，2），B（5，0）．
當直線m過點A時，則t=2；
當直線m過點B時，則t=-10．
所以-10≤t≤2．

（2）當0≤t≤2時，直線與y軸的交點是（0，t），與AC的交點是（1-

t

2

，2），
則S=

1

2

•（2-t）•（1-

t

2

）=

1

4

t²-t+1，
此時若S=1.8，則

1

4

t²-t+1=1.8，解，得t=2±

6

5

5

，
又∵0≤t≤2，則t=2-

6

5

5

；
當-10≤t≤0時，則直線與x軸的交點是（-

t

2

，0）．
作DE⊥x軸于E，CF⊥x軸于F，則△BDE∽△BCF，則

DE

BE

=

CF

BF

=

1

2

，
即設D（5-2a，a），
則有a=2（5-2a）+t，
a=2+

t

5

，
則S=

1

2

•（5+

t

2

）（2+

t

5

）=

t2

20

+t+5．
此時若S=1.8，則

t2

20

+t+5=1.8，解得t=-2或-18，
又∵-10≤t≤0，則t=-2．

點評：此題運用了數形結合的思想，考查了直線和坐標軸的交點求解方法，能夠分情況討論解決問題．