Question

【題目】【問題】如圖①，在△ABC中，BE平分∠ABC，CE平分∠ACB，若∠A=80°，則∠BEC=__ __；若∠A=n°，則∠BEC=__ _.

【探究】

(1)如圖②，在△ABC中，BD，BE三等分∠ABC，CD，CE三等分∠ACB.若∠A=n°，則∠BEC=____；

(2)如圖③，O是∠ABC與外角∠ACD的平分線BO和CO的交點，試分析∠BOC和∠A有怎樣的關系？請說明理由；

(3)如圖④，O是外角∠DBC與外角∠BCE的平分線BO和CO的交點，則∠BOC與∠A有怎樣的關系？(只寫結論，不需證明)

Answer 1

【答案】問題：130°，90°＋n°探究：（1）60°＋n°(2)∠BOC＝∠A. (3)∠BOC＝90°－∠A

【解析】試題分析：問題：利用三角形的內角和等于180°求出∠ABC+∠ACB，再利用角平分線的定義求出∠EBC+∠ECB，然后根據三角形的內角和等于180°列式計算即可得解；將∠A的度數換成n°，然后求解即可；

探究：（1）利用三角形的內角和等于180°求出∠ABC+∠ACB，再利用三等分角求出∠EBC+∠ECB，然后根據三角形的內角和等于180°列式計算即可得解；

（2）根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和表示出∠ACD和∠OCD，再根據角平分線的定義可得∠ABC=2∠OBC，∠ACD=2∠OCD，然后整理即可得解；

（3）根據平角的定義以及角平分線的定義表示出∠OBC和∠OCB，然后根據三角形的內角和定理列式表示出∠BOC，然后整理即可得解．

試題解析：【問題】解：∵∠A=80°，

∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-80°=100°，

∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACB，

∴∠EBC=∠ABC，∠ECB=∠ACB，

∴∠EBC+∠ECB=（∠ABC+∠ACB）=×100°=50°，

∴∠BEC=180°-（∠EBC+∠ECB）=180°-50°=130°；

由三角形的內角和定理得，∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-n°，

∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACB，

∴∠EBC=∠ABC，∠ECB=∠ACB，

∴∠EBC+∠ECB=（∠ABC+∠ACB）=×（180°-n°）=90°-n°，

∴∠BEC=180°-（∠EBC+∠ECB）=180°-（90°-n°）=90°+n°；

探究：解：（1）由三角形的內角和定理得，∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-n°，

∵BD，BE三等分∠ABC，CD，CE三等分∠ACB，

∴∠EBC=∠ABC，∠ECB=∠ACB，

∴∠EBC+∠ECB=（∠ABC+∠ACB）=×（180°-n°）=120°-n°，

∴∠BEC=180°-（∠EBC+∠ECB）=180°-（120°-n°）=60°+n°；

（2）∠BOC=∠A．

理由如下：由三角形的外角性質得，∠ACD=∠A+∠ABC，

∠OCD=∠BOC+∠OBC，

∵O是∠ABC與外角∠ACD的平分線BO和CO的交點，

∴∠ABC=2∠OBC，∠ACD=2∠OCD，

∴∠A+∠ABC=2（∠BOC+∠OBC），

∴∠A=2∠BOC，

∴∠BOC=∠A；

（3）∵O是外角∠DBC與外角∠BCE的平分線BO和CO的交點，

∴∠OBC=（180°-∠ABC）=90°-∠ABC，∠OCB=（180°-∠ACB）=90°-∠ACB，

在△OBC中，∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=180°-（90°-∠ABC）-（90°-∠ACB）=（∠ABC+∠ACB），

由三角形的內角和定理得，∠ABC+∠ACB=180°-∠A，

∴∠BOC=（180°-∠A）=90°-∠A．