Question

【題目】如圖，在ABC 中， AD 是 BC 邊上的中線，點 E 是 AD 的中點，過點 A 作AF // BC 交 BE 的延長線于 F ，連接CF .

（1）求證： AEF DEB ；

（2）若BAC 90，試判斷四邊形 ADCF 的形狀，并證明你的結論；

（3）在（2）的情況下，如果 AC 2 ，點 M 在 AC 線段上移動，當 MB MD 有最小值時，求 AM 的長度（提示：以 D 點為原點， AD 為 y 正半軸， DC 為 x 正軸建立平面直角坐標系）.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）四邊形ADCF是菱形；（3）．

【解析】

（1）根據平行線的性質得到∠AFE=∠DBE，利用AAS定理證明△AEF≌△DEB；

（2）根據全等三角形的性質得到AF=DC，得到四邊形ADCF是平行四邊形，根據直角三角形的性質得到AD=DC，即可證明四邊形ADCF是菱形；

（3）根據菱形的性質得到點D與點F關于直線AC對稱，根據軸對稱的性質作圖即可得出點M，然后根據相似三角形的判定與性質即可得出AM與AC的關系，即可得出結論．

（1）∵AF∥BC，∴∠AFE=∠DBE．在△AEF和△DEB中，∵，∴△AEF≌△DEB；

（2）四邊形ADCF是菱形，理由如下：

∵△AEF≌△DEB，∴AF=BD．

∵BD=DC，∴AF=DC．

又∵AF∥BC，∴四邊形ADCF是平行四邊形．

∵∠BAC=90°，AD是BC邊上的中線，∴AD=DC，∴四邊形ADCF是菱形；

（3）連接BF交AC于M，則點M即為所求．

∵四邊形ADCF是菱形，∴點D與點F關于直線AC對稱，∴MD=MF，∴MB+MD=MB+MF=BF，即MB+MD有最小值．

∵AF=DC=BD，∴BC=2AF．

∵AF∥BC，∴△AMF∽△CMB，∴，∴，∴AM=AC．

∵AC=2，∴AM=．