Question

如圖，已知平面直角坐標系，A、B兩點的坐標分別為A（2，-3），B（4，-1）．若C（a，0），D（a+3，0）是x軸上的兩個動點，則當a=

5

4

時，四邊形ABDC的周長最短．

Answer 1

分析：作點A關于x軸的對稱點A′，則A′的坐標為（2，3），把A′向右平移3個單位得到點B'（5，3），連接BB′，與x軸交于點D，易得四邊形A′B′DC為平行四邊形，得到CA′=DB′=CA，則AC+BD=BB′，根據(jù)兩點之間線段最短得到此時AC+BD最小，即四邊形ABDC的周長最短．然后用待定系數(shù)法求出直線BB′的解析式y(tǒng)=4x-17，易得D點坐標為（

17

4

，0），則有a+3=

17

4

，即可求出a的值．

解答：解：作點A關于x軸的對稱點A′，則A′的坐標為（2，3），把A′向右平移3個單位得到點B'（5，3），連接BB′，與x軸交于點D，如圖，
∴CA′=CA，
又∵C（a，0），D（a+3，0），
∴CD=3，
∴A′B′∥CD，
∴四邊形A′B′DC為平行四邊形，
∴CA′=DB′，
∴CA=DB′，
∴AC+BD=BB′，此時AC+BD最小，
而CD與AB的長一定，
∴此時四邊形ABDC的周長最短．
設直線BB′的解析式為y=kx+b，
把B（4，-1）、B'（5，3）分別代入得，
4k+b=-1，5k+b=3，
解得k=4，b=-17，
∴直線BB′的解析式為y=4x-17，
令y=0，則4x-17=0，
解得x=

17

4

，
∴D點坐標為（

17

4

，0），
∴a+3=

17

4

，
∴a=

5

4

．
故答案為

5

4

．

點評：本題考查了軸對稱-最短路線問題：通過對稱，把兩條線段的和轉化為一條線段，利用兩點之間線段最短解決問題．也考查了坐標變換以及待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式．