Question

在平面直角坐標系中，現將一塊等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在兩坐標軸上，且點A（0，2），點C（-1，0），如圖所示：拋物線y=2ax²+ax-

3

2

經過點B．
（1）寫出點B的坐標

 

；
（2）求拋物線的解析式；
（3）若三角板ABC從點C開始以每秒1個單位長度的速度向x軸正方向平移，求點A落在拋物線上時所用的時間，并求三角板在平移過程掃過的面積；
（4）在拋物線上是否還存在點P（點B除外），使△ACP仍然是以AC為直角邊的等腰直角三角形？若存在，求所有點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由于△ABC是等腰Rt△，若過B作BD⊥x軸于D，易證得△BCD≌△CAO，則BD=OA=2，BD=OC=1，即可求出B點坐標為：B（-3，1）．
（2）將B點坐標代入拋物線的解析式中，即可求出待定系數a的值，也就求得了拋物線的解析式．
（3）設平移后的三角形為△A′B′C′，由于是沿x軸正方向平移，所以A、A′的縱坐標不變，且A′在拋物線的圖象上，由此可求出A′的坐標，即可求出AA′，CC′的距離，進而可求出平移過程所用的時間；
那么掃過部分的面積=△ABC的面積+?AA′C′C的面積．
（4）此題要分兩種情況進行討論：
①以C為直角頂點，AC為直角邊；可求出直線BC的解析式，聯立拋物線的解析式即可求出P點坐標，然后判斷CP是否與AC相等即可．
②以A為直角頂點，AC為直角邊，方法同①．

解答：解：（1）過B作BD⊥x軸于D；
∵∠BCA=90°，
∴∠BCD=∠CAO=90°-∠ACO；
又∵BC=AC，∠BDC=∠AOC=90°，
∴△BDC≌△COA；
∴AO=DC=2，BD=OC=1，
∴B（-3，1）．

（2）由于拋物線過B點，則有：
2a×9+（-3）•a-

3

2

=1，
解得a=

1

6

；
∴y=

1

3

x²+

1

6

x-

3

2

．

（3）設平移后的三角形為△A′B′C′；
當y=2時，

1

3

x²+

1

6

x-

3

2

=2，
解得x=3（負值舍去）；
∴A′（3，2），C′（2，0）；
∴平移過程所用去的時間為3÷1=3秒；
S_掃=S_△ABC+S_?AA′C′C
=

1

2

×（

5

）²+3×2=8.5（平方單位）．

（4）①若以AC為直角邊，C為直角頂點；
設直線BC交拋物線y=

1

3

x²+

1

6

x-

3

2

于P₁，
易求得直線BC的解析式為y=-

1

2

x-

1

2

；
不難求得P₁（1，-1），此時CP₁=AC；
∴△ACP₁為等腰直角三角形；
②若以AC為直角邊，點A為直角頂點；
過A作AF∥BC，交拋物線y=

1

3

x²+

1

6

x-

3

2

于P₂，易求得直線AF的解析式為y=-

1

2

x+2；
因為以AC為直角邊，點A為直角頂點的等腰Rt△ACP的頂點P有兩種情況，即AC=AP₂，AC⊥AP₂，
∵CO=1，AO=2，
只有P到y軸距離為2，到x軸距離為1，且在第一象限符合題意，
此時P₂（2，1），
或者P點在第三象限P₃（-2，3）符合題意，
經檢驗點P₂（2，1）與P₃（-2，3）不在拋物線上，
所以，符合條件的點P有1個：（1，-1）．

點評：此題考查了等腰直角三角形的性質和判定、全等三角形的判定和性質、二次函數解析式的確定、函數圖象交點、圖形面積求法等知識，需注意的是（4）題應考慮到分別以A、C為直角頂點兩種情況，不要漏解．